最值系列之费马点皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到 1995 年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了 330 年．果然，数学搞得好的都是装 x 的一把好手．言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．问题：在△ABC 内找一点 P，使得 PA+PB+PC 最小．ABCP【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．阿哈哈哈，此处一个也用不上！其实理论还是上面的理论，本题难点在于有 3 条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！算了算了，不墨迹了，直接报答案了：若点 P 满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则 PA+PB+PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点．接下来讨论 3 个问题：（1）如何作三角形的费马点？（2）为什么是这个点？（3）费马点怎么考？1一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC 中的 AB、AC 为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接 CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记 CD、BE 交点为 P，点 P 即为费马点．（到这一步其实就可以了）（ 4 ） 以 BC 为 边 作 等 边 △ BCF ， 连 接 AF ， 必 过 点 P ， 有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．FPPABCDEEDCBABACABCDE在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接 AP，AP 平分∠DPE．有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°，若 ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：ABCDEP此时 CD 与 BE 交点 P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然 P 点到A、B、C 距离之和大于 A 点到 A、B、C 距离之和．所以咧？是的，你想得没错，2此时...
