圆的切线 1一、切线切线长定理中的基本图形：如图， PA，PB 为⊙ O的切线， A， B分别为切点，则有：(1) 两个等腰三角形(,) ；(2) 一条特殊的角平分线(OP 平分∠ APB 和 ∠ AOB)；(3) 三个垂直关系(OA PA, OB, OPAB)。1．遇到有切线时常添加过切点的半径（连结圆心和切点）。 ( 图 1) 图 1 图 2 图 32．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 (图 2) （2）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。( 图 3)图 4 图 5 3. 弦切角是与圆有关的其中的一种角, 当条件是切线时 , 往往找弦切角 , 看弦切角所对的弧, 再找弧所对的圆周角得两角相等。 (图 1)4．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 (图 4)遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点。 (图 5)一、圆中有切线，常作过切点的半径（有点，过圆心作切线的垂线）例 1. 如图，已知MN为⊙ O的直径， AP是⊙ O的切线， P 为切点，点A 在 MN的延长线上，若 PA=PM，求∠ A 的度数。解：连结 OP，设∠ A 的度数为x。 PA=PM，∴∠ M=∠A，同理可得∠OPM=∠M，∴∠ POA=∠ OPM+∠ M=2∠M=2∠ A=2x。又 AP 切⊙ O 于点 P，∴AP⊥ OP，∴∠ A+∠POA=90° ，即 x+2x=90° ，解之得x=30° ，∴∠ A=30° 。例 2：如图， PA是⊙ O的切线，切点是A，过点 A 作 AH⊥OP于点 H，交⊙ O于点 B. 求证： PB是⊙ O的切线 .证明：连接OA、OB. PA是⊙ O的切线，∴∠OAP=90° . OA=OB，AB⊥OP，∴∠ AOP=∠BOP.又 OA=OB，OP=OP，∴△ AOP≌△ BOP.∴∠ OPB=∠OAP=90° .∴PB是⊙ O的切线 .例 3. 如图 ,AB 为⊙ O的直径 ,C 为⊙ O上的一点 ,AD 和过 C点的切线垂直, 垂足为 D，求证∠ 1=∠ 2。证明： 连结 OC。 DC切⊙ O于点 C，∴ OC⊥DC。又 AD⊥ DC，∴ OC∥AD，∴∠ 1=∠3。 OA=OC,∴∠ 2=∠3，∴∠ 1=∠ 2。评析： 当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。例 4、如图， AB、 AC与⊙ O相切有与B、C点，∠ A = 50 ° ，点P 优弧 BC的一个动点，求∠BPC的度数。解：连结 OB 、 OC ， AB 、AC是⊙ O的切线...
