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均值不等式公式完总结归纳非常实用VIP免费

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均值不等式归纳总结1. (1)若Rba,,则abba222(2) 若Rba,,则222baab( 当 且 仅 当ba时取“ =”)2. (1)若*,Rba,则abba2(2) 若*,Rba,则abba2(当且仅当ba时取“ =”)(3) 若*,Rba,则22baab ( 当且仅当ba时取“ =”)3. 若0x,则12xx ( 当且仅当1x时取“ =”)若0x,则12xx ( 当且仅当1x时取“ =”)若0x,则11122-2xxxxxx即或 ( 当且仅当ba时取“ =”)4. 若0ab,则2abba ( 当且仅当ba时取“ =”)若0ab,则22-2abababbababa即或 ( 当且仅当ba时取“ =”)5. 若Rba,,则2)2(222baba(当且仅当ba时取“ =”)『ps.(1) 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2) 求最值的条件“一正,二定,三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一:求最值例 1:求下列函数的值域(1)y=3x 2+ 12x 2(2)y=x+1x解:(1)y =3x 2+ 12x 2 ≥23x 2 ·12x 2=6 ∴值域为 [6 ,+∞)(2) 当 x>0 时,y=x+1x ≥2x·1x=2;当 x<0 时, y =x+1x = -(- x -1x )≤- 2x·1x = -2 ∴值域为(-∞,- 2] ∪[2 ,+∞)解题技巧技巧一:凑项例已知54x,求函数14245yxx的最大值。解:因 450x,所以首先要“调整”符号,又1(42)45xxg不是常数,所以对 42x要进行拆、凑项,5,5404xxQ,11425434554yxxxx231当且仅当15454xx ,即1x时,上式等号成立,故当1x时,max1y。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。技巧二:凑系数例 1. 当时,求(82 )yxx 的最大值。解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式, 但其和不是定值。 注意到 2(82 )8xx为定值,故只需将(82 )yxx 凑上一个系数即可。当,即 x=2 时取等号当 x=2 时,(82 )yxx 的最大值为 8。评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。变式:设230x,求函数)23(4xxy的最大值。解: 230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三:分离例 3. 求2710 (1)1xxyxx的值域。解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。当, 即时,42...

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