第 2 课时 不等式的证明与柯西不等式1 ．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数 学归纳法． 2
了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式，能利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值
2011· 考纲下载不等式的证明是中学数学的难点．柯西不等式只要求会简单应用
注：不等式证明的基本方法详见本书第十二章第2、3课时． 1．平均值不等式 a1＋a2＋…＋ann≥n a1a2…an≥11a1＋1a2＋…＋1an
2．贝努利不等式 若x∈R，且x>－1，x≠0，n>1，n∈N， 则(1＋x)n>1＋nxn
课前自助餐 课本导读• 3．柯西不等式 (1)设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(i＝1naibi)2
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式：设α、β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|
当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． •4 ．排序不等式•若 a1≤a2≤…≤an， b1≤b2≤…≤bn为两组实数， c1， c2，…， cn是 b1， b2，…， bn 的任一排列，则 a1bn ＋ a2bn － 1 ＋…＋ anb1≤a1c1 ＋ a2c2 ＋…＋ancn≤a1b1 ＋ a2b2 ＋…＋ anbn
当且仅当 a1 ＝ a2 ＝…＝ an 或 b1＝ b2＝…＝ bn时，反序和等于顺序和．1．已知00，利用柯西不等式， 得(m＋n)(a2m＋b2n)≥(a＋b)2， 所以a2m＋b2n≥(a＋b)2m＋n
(2)解 由(1)，函数y＝2x＋91－2x
