—— 等差、等比数列的综合问题大 题 考 法二讲第题型 ( 一 )主要考查等差、等比数列的通项公式及前 n 项和的求解，且常结合数列的递推公式命题. 等差、等比数列的综合运算[典例感悟] [例 1] (2019·南京盐城一模)已知数列{an}，其中 n∈N *. (1)若{an}满足 an＋1－an＝qn－1(q>0，n∈N *)． ①当 q＝2，且 a1＝1 时，求 a4 的值； ②若存在互不相等的正整数 r，s，t，满足 2s＝r＋t，且ar，as，at 成等差数列，求 q 的值． (2)设数列{an}的前 n 项和为 bn，数列{bn}的前 n 项和为cn，cn＝bn＋2－3，n∈N *，若 a1＝1，a2＝2，且|a2n＋1－anan＋2|≤k 恒成立，求 k 的最小值． [解] (1)①由题意知 a4－a3＝4，a3－a2＝2，a2－a1＝1，a1＝1，累加得 a4＝8. ②因为 an＋1－an＝qn－1， 所以 n≥2 时，an－an－1＝qn－2，…，a2－a1＝1. (ⅰ)当 q＝1 时，an＝n－1＋a1(n≥2)．又 a1 满足 an＝n－1＋a1，所以当 q＝1 时，an＝n－1＋a1(n∈N *)． 因为 2s＝r＋t，所以 2as＝ar＋at，所以 q＝1 满足条件． (ⅱ)当 q≠1 且 q>0 时，an＝1－qn－11－q ＋a1(n≥2)． 又 a1 满足 an＝1－qn－11－q ＋a1， 所以 an＝1－qn－11－q ＋a1(n∈N *)． 若存在满足条件的 r，s，t，则可得 2qs＝qr＋qt， 则 2＝qr－s＋qt－s≥2 qr＋t－2s＝2， 此时 r＝t＝s，这与 r，s，t 互不相等矛盾， 所以 q≠1 且 q>0 不满足条件． 综上所述，符合条件的 q 的值为 1. (2)由 cn＝bn＋2－3，n∈N *，可知 cn＋1＝bn＋3－3，两式相减可得 bn＋3＝bn＋2＋bn＋1. 因为 a1＝1，a2＝2，所以 b1＝1，b2＝3， 从而 c1＝1，c2＝4，可得 b3＝4，b4＝7，故 b3＝b2＋b1， 所以 bn＋2＝bn＋1＋bn 对一切的 n∈N *恒成立． 由 bn＋3＝bn＋2＋bn＋1，bn＋2＝bn＋1＋bn 得 an＋3＝an＋2＋an＋1. 易知 a3＝1，a4＝3，故 an＋2＝an＋1＋an(n≥2)． 因为 a2n＋2－an＋1an＋3＝(an＋1＋an)2－an＋1·(an＋2＋an＋1)＝(an＋1＋an)2－an＋1·(an＋2an＋1)＝－a2n＋1＋anan＋2，n≥2， 所以当 n≥2 时，|a2n＋2－an＋1an＋3|＝|a2n＋1－anan＋2|， 所以当 n≥2 时，|a2n＋1－anan＋2|＝5， 当 n＝1 时，|a2n＋1－anan＋2|＝3， 故 k 的最小值为 5. [方法技巧] 1．解决等差、等比数列综合问题的策略 解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据...
