第 14 讲 用导数研究函数的单调性与极值 基础梳理 1．函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0⇔ f(x)在(a，b)为 ； f′(x)≤0⇔ f(x)在(a，b)为 ． 增函数减函数2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值． f′(x) ＜ 0 f′(x) ＞ 0(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 极大值 双基自测 1．(教材改编题)f(x)＝3x－x3的单调减区间为________． 解析 由f′(x)＝3－3x2＜0，得x＞1或x＜－1. 即f(x)的单调减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 答案 (－∞，－1)和(1，＋∞) 2．(2011·镇江模拟)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的极小值为________． 解析 由y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或2， 当x∈[0,2)时，y′＜0，当x∈(2,3]时，y′＞0， 故f(x)极小值＝f(2)＝－15. 答案 －15 3．函数y＝3x2－6ln x的单调增区间为________，单调减区间为________． 解析 y′＝6x－6x＝6x2－6x. 定义域为(0，＋∞)， 由y′＞0，得x＞1，∴增区间为(1，＋∞)； 由y′＜0，得0＜x＜1，∴减区间为(0,1)． 答案 (1，＋∞) (0,1) 4．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰有3个单调区间，则实数a的取值范围是________． 解析 由题意f′(x)＝3ax2＋6x－1＝0有两个不相等的实数根，故 62＋4×3a＞0a≠0⇒ a＞－3且a≠0. 答案 (－3,0)∪(0，＋∞) 5．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是________． 解析 f′(x)＝3x2－a，由f(x)在[1，＋∞)上单调递增函数，得f′(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0，x∈[1，＋∞)恒成立，故实数a≤3x2在[1，＋∞)上的最小值，即a≤3. 答案 (－∞，3] 考向一 利用导数解决函数的单调性问题 【例1】►已知f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围． [审题视点] (1)通过f′(x)≥0求单调递增区间；(2)转化为恒成 函数在指定区间上单调递...
