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2008 年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数一、判断题（共60 分，每小题 6 分；若正确，打钩并给出证明，若错误，打叉并给出反例或说明理由）1.对多项式18x来说，不存在素数p 满足艾森斯坦Eisenstein 判别法的条件，故18x不是有理数域上的不可约多项式。2.若数域 P 上的多项式)(xf在复数域上有重根，则在P 上一定有重因式。3.设向量组（ I）的秩大于向量组（ II ）的秩，则（ I）不能由（ II ）线性表出。4.设BA,都是 n 阶方阵， A 是对角矩阵，BAAB，则 B 也是对角矩阵。5.设BA,都是半正定矩阵，则AB 的特征值大于或等于0。6.设),2,1(siVi是 n 维线性空间 V 的子空间，ns2，若0jiVVji，则sVVV21是直和。7.实矩阵nmRA的秩为 n 的充要条件是对任意的n 阶实矩阵CB,，有ACAB可推得CB。8.设ba, 属于数域 P ,0))((,)()(nxfxPxfxfV，则 V 是一个线性空间，并且)()(:baxfxf是V 上的一个线性变换。9.)(A矩阵是可逆的当且仅当)(A的行列式0)(A。10.在 n 维欧几里得空间中，正交变换在一组基下的矩阵是正交矩阵。二、计算题（每小题10 分，共 40 分）1.设njiajinjniij,2,1,， n 阶方阵ijaA，求 A 的行列式 A 。2.求143021002A的所有不变因子，初等因子以及若尔当Jordan 标准形。3.设4xP是所有次数小于4 的多项式和零多项式构成的线性空间，求线性变换xfxfxfxxf'''2的特征值，求最大特征值的特征向量。4.已知三维欧几里得空间V 中有一组基321,,，其度量矩阵为110121012A，求向量312的长度。三、证明题（ 1，2 题每小题 10 分， 3，4 题每小题 15 分，共 50 分）1.设 V 是一个 n 维线性空间，1V 是一个 r 维子空间，2nr，证明：存在一个线性变换，使得VV011。2.设分块实对称矩阵bAaA'1'00，其中nnnRARRba1,,,,，证明： A正定的充要条件是0,0 ba且矩阵''111baA正定。3.设xC是由所有复系数多项式所构成的集合，nnCA，令xCxfAfV)()(，设 A 最小多项式的次数为m ，证明：（1） V 是一个有限维线性空间；（2）12,,,,mAAAE构成 V 的一个基。4.设 V 是数域 P 上的有限维线性空间，是V 上的线性变换，221)(f是的最小多项式；再设2,1kkKerVkk，其中?Ker表示核空间，证明：21VVV。2009 年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数考生注意：答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。一、（ 20 分）cbxaxxxf23)(是整系数多项式，若ca, 是奇数， b 是偶数，证明：)( xf是有理数域上...