11．如图所示，用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。(1)设水柱直径为D，水流速度为v，水柱垂直煤层表面，水柱冲击煤层后水的速度变为零，水的密度为ρ。求高压水枪的功率和水柱对煤的平均冲力。(2)若将质量为m的高压水枪固定在装满水、质量为M的消防车上，当高压水枪喷出速度为v(相对于地面)、质量为Δm的水流时，消防车的速度是多大?水枪做功多少?(不计消防车与地面的摩擦力)【答案】(1)P=WΔt=18ρπD2v3；F=14ρπD2v2；(2)v车=-Δmvm+M−Δm。负号表示消防车速度方向与喷出水的速度方向相反；W=m+M2(m+M−Δm)Δmv2【解析】(1)设Δt时间内，从水枪中喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则Δm=ρΔVΔV=vSΔt=14vπD2ΔtΔt时间内从水枪中喷出的水的动能Ek=12Δmv2=18ρπD2v3Δt由动能定理，高压水枪对水做的功W=Ek=18ρπD2v3Δt高压水枪的功率P=WΔt=18ρπD2v32考虑一个极短时间Δt'，在此时间内喷到煤层上的水的质量为m，则由动量定理可得FΔt'=mvΔt'时间内喷到煤层上的水的质量m=ρSvΔt'=14ρπD2vΔt'解得F=14ρπD2v2。(2)对于消防车和水枪系统，在喷水的过程中，水平方向上不受外力，动量守恒。取喷出水的速度方向为正方向，设喷水时消防车速度为v车，由动量守恒定律，(m+M-Δm)v车+Δmv=0解得v车=-Δmvm+M−Δm。负号表示消防车速度方向与喷出水的速度方向相反由功能关系，水枪做功W=12Δmv2+12(M+m-Δm)v车2=m+M2(m+M−Δm)Δmv2。【备注】无2.如图所示，竖直面内固定着半径为R的光滑半圆轨道，左、右端点P、Q与圆心在同一水平线上，且离地面的高度为3R2，质量均为M的物体A、B通过一轻弹簧连接，并竖直放置在Q正下方，物体A离Q点的距离为R2，整个装置处于静止状态.现有一质量为m的小球C(可视为质点)从P端正下方的地面上以一定初速度竖直上抛，小球C抛出的同时，从P点由静止释放另一质量为m的弹性小球D(可视为质点)，两球在空中碰后粘在一起(设为物体E，仍可视为质点)，E经过半圆轨道后与物体A发生完全弹性碰撞，碰撞后E反弹恰能通过圆弧轨道最高点，物体A恰能到达Q点且物体B刚好不离开地面.重力加速度为g，不计空气阻力，求:3(1)E和A碰撞反弹后，E通过圆弧轨道最高点时的速度大小;(2)mM的值;(3)小球C竖直上抛的初速度大小v0.【答案】(1)v=√gR(2)mM=110(3)v0=√38gR【解析】(1)E恰能通过半圆轨道最高点，设此时的速度大小为v，有2mg=2mv2R解得v=√gR.(2)设E与物体A碰撞前速度大小为v1，碰撞后瞬间E的速度大小为v'1，物体A的速度大小为v'2E反弹通过半圆轨道最高点的过程中机械能守恒12·2mv'21=12·2mv2+2mg×32R解得v'1=2√gR由题意，物体A恰能到达Q点且物体B刚好不离开地面，设装置静止时弹簧的压缩量为x1，A到达Q点时弹簧的伸长量为x2，则有x1=x2，两个状态下弹簧的弹性势能相等，A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，有12Mv'22=MgR2，解得v'2=√gR4以竖直向下为正方向，由动量守恒定律得2mv1=-2mv'1+Mv'212·2mv12=12·2mv'21+12Mv'22联立解得v1=3√gR，mM=110.(3)C、D相遇时，有v0t-12gt2+12gt2=32R解得t=3R2v0C、D碰撞过程中动量守恒(以向上方向为正方向)，设碰撞后瞬间E的速度为v01m(v0-gt)-m·gt=2mv01从C、D粘在一起形成E后到E与A碰撞前，E的机械能守恒，有2mg·(32R-12gt2)+12·2mv012=2mg·R+12·2mv12解得v0=√38gR.3．在相互平行且足够长的两根水平光滑的硬杆上，穿着三个半径相同的刚性球A、B、C，三球的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg.开始时B、C两球之间连接一根轻质弹簧并处于静止状态，B、C两球的连线与杆垂直且弹簧刚好处于原长.现让A球以v0=9m/s的速度向左运动，与同一杆上的B球发生完全非弹性碰撞(碰撞时间极短)，求:(1)A、B两球碰撞过程中损失的机械能;(2)在以后的运动过程中弹簧的最大弹性势能;(3)在以后的运动过程中B球的最小速度.5【答案】(1)ΔE=27J.(2)Epm=9J.(3)B的最小速度为零.【解析】(1)A、B两球发生完全非弹性碰撞，设碰后两球的共同速度大小为v1根据动量守恒定律可得:mAv0=(mA+mB)v1代入数据解得:v1=3m/s由能量守恒可得损失的机械能为:ΔE=12mAv02-12(mA+mB)v12解得:ΔE=27J.(2)由于A、B、C组成的系统合外力为零，故动量守恒、机械...
