第 3 讲 导数的概念及其简单应用 导数的几何意义及导数的运算1.(2015 河南洛阳市统考)已知直线 m:x+2y-3=0,函数 y=3x+cos x 的图象与直线 l 相切于 P点,若 l⊥m,则 P 点的坐标可能是( B )(A) (- ,-)(B) ( ,)(C) (, ) (D) (-,- )解析:由 l⊥m 可得直线 l 的斜率为 2,函数 y=3x+cos x 的图象与直线 l 相切于 P 点,也就是函数在 P 点的导数值为 2,而 y′=3-sin x=2,解得 sin x=1,只有 B,D 符合要求,而 D 中 P 点不在函数图象上,因此选择 B.2.(2014 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 .解析:易知 y′=2ax- .根据题意有解得故 a+b=-3.答案:-33.(2015 吉林实验中学二模)已知函数 f(x)=2aex(a>0,e 为自然对数的底数)的图象与直线x=0 的交点为 M,函数 g(x)=ln (a>0)的图象与直线 y=0 的交点为 N,|MN|恰好是点 M 到函数g(x)=ln (a>0)图象上任意一点的线段长的最小值,则实数 a 的值是 . 解析:由已知得 M(0,2a),N(a,0),因为 g′(x)= ,则 g(x)在 x=a 处的切线斜率为 ,若|MN|恰好是点 M 到函数 g(x)=ln (a>0)图象上任意一点的线段长的最小值 ,则× =-1,解得a=2.答案:2 利用导数研究函数的单调性4.(2015 辽宁沈阳市质量监测一)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式 f(x)> +1(e 为自然对数的底数)的解集为( A )(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)∪(3,+∞)(C)(-∞,0)∪(0,+∞) (D)(3,+∞)解析:不等式 f(x)> +1,可以转化为 exf(x)-ex-3>0,令 g(x)=exf(x)-ex-3,所以 g′(x)=ex(f(x)+f′(x))-ex=ex(f(x)+f′(x)-1)>0,所以 g(x)在 R 上单调递增.又因为 g(0)=f(0)-4=0,所以 g(x)>0x>0,⇒即不等式的解集是(0,+∞).5.(2015 兰州高三诊断)已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x),满足 f′(x)0...
