学业分层测评(一) 直角坐标系(建议用时：45 分钟)[学业达标]1．已知点 Q(1,2)，求 Q 点关于 M(3,4)的对称点．【解】 设点 P 的坐标为(x，y)，由题意知，M 是 PQ 的中点，因此∴∴点 P 的坐标为(5,6)．2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(3，－1)，B(8,2)，C(4,6)，求△ABC 的面积．【解】 如图，作直线 l：y＝－1，过点 B、C 向 l 引垂线，垂足分别为 B1、C1，则△ABC 的面积为S＝S△AC1C＋S 梯形 C C1B1B－S△AB1B＝×1×7＋(7＋3)×4－×5×3＝16.3．已知点 P(0,4)，求 P 点关于直线 l：3x－y－1＝0 的对称点．【解】 设 P 点关于 l 的对称点 Q 的坐标为(a，b)，由题意得即解之得∴P 点关于直线 l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为 6 的线段两端点 A，B 分别在 x，y 轴上滑动，点 M 在线段 AB 上，且AM∶MB＝1∶2，求动点 M 的轨迹方程．【导学号：98990002】【解】 如图，设 A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)， AB＝6，∴＝6，即 x＋y＝36，①又 AM∶MB＝1∶2，∴x＝，y＝，即代入①得 x2＋9y2＝36，即 x2＋4y2＝16.得动点 M 的轨迹方程为 x2＋4y2＝16.5．设点 P 是矩形 ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA2＋PC2＝PB2＋PD2.【证明】 如图，以(矩形的)顶点 A 为坐标原点，边 AB、AD 所在直线分别为 x 轴与 y 轴建立平面直角坐标系，并设 B(b,0)、D(0，d)，则点 C 的坐标为(b，d)．又设 P(x，y)，1则 PA2＋PC2＝x2＋y2＋(x－b)2＋(y－d)2，PB2＋PD2＝(x－b)2＋y2＋x2＋(y－d)2.比较两式，可知 PA2＋PC2＝PB2＋PD2.6．有相距 1 400 m 的 A、B 两个观察站，在 A 站听到爆炸声的时间比在 B 站听到时间早 4 s．已知当时声音速度为 340 m/s，试求爆炸点所在的曲线．【解】 由题知：爆炸点 P 到 B 的距离比到 A 的距离多 340×4＝1 360 米．即 PB－PA＝1 360＜1 400，PB＞PA.故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线上，且离 A 近的一支．以 A、B 两点所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由题意得，2a＝1 360,2c＝1 400，故 a＝680，c＝700，b2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为－＝1(x＜0)．7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政 310 船发现一艘不明船只从离小岛 O 正东方向 80海里的 B 处，沿东西方向向 O 岛驶来．指挥部立即命令在岛屿 O 正北方向 40 海里的 A 处...
