§9.3 直线与圆、圆与圆的位置关系考点 直线与圆、圆与圆的位置关系12.(2015 广东,5,5 分)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( )A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+=0 或 2x+y-=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x-y+=0 或 2x-y-=0答案 A 切线平行于直线 2x+y+1=0,故可设切线方程为 2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得 c=±5.故选 A.14.(2014 湖北,12,5 分)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧,则 a2+b2= . 答案 2解析 由题意知直线 l1和 l2与单位圆 C 所在的位置如图.因此或故 a2+b2=1+1=2.评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出 a 和 b 的值是解题的关键.15.(2015 福建,18,13 分)已知椭圆 E:+=1(a>b>0)过点(0,),且离心率 e=.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设直线 l:x=my-1(m∈R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析 解法一:(1)由已知得解得所以椭圆 E 的方程为+=1.(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 H(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以 y1+y2=,y1y2=-,从而 y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.====(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.故点 G 在以 AB 为直径的圆外.解法二:(1)同解法一.(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以 y1+y2=,y1y2=-,从而·=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=++=>0,所以 cos<,>>0.又,不共线,所以∠AGB 为锐角.故点 G 在以 AB 为直径的圆外.评析 本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.16.(2014 江苏,18,16 分)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m.经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(OC 为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥 BC 的长;(2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?解析 解法一:(1)如图,以 O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A...
