§9.2 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型 预测热度201320142015201620171.利用导数研究函数的单调性1.求解不等式2.研究函数基本性质B19 题16 分填空题解答题★★★2.利用导数研究函数的极值和最值1.研究函数零点 2.研究函数基本性质B20 题16 分填空题解答题★★★分析解读 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值是江苏高考必考内容,主要在压轴题位置,重点考查等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程思想,对分析问题的能力要求较高.五年高考考点一 利用导数研究函数的单调性1.(2017 山东文改编,10,5 分)若函数 exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称函数 f(x)具有 M 性质.下列函数中具有 M 性质的是 . ①f(x)=2-x;②f(x)=x2;③f(x)=3-x;④f(x)=cos x.答案 ①2.(2016 课标全国Ⅰ改编,12,5 分)若函数 f(x)=x- sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是 . 答案 3.(2017 课标全国Ⅱ文,21,12 分)设函数 f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 x≥0 时, f(x)≤ax+1,求 a 的取值范围.解析 (1)f '(x)=(1-2x-x2)ex.令 f '(x)=0,得 x=-1-或 x=-1+.当 x∈(-∞,-1-)时, f '(x)<0;当 x∈(-1-,-1+)时, f '(x)>0;当 x∈(-1+,+∞)时, f '(x)<0.所以 f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当 a≥1 时,设函数 h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),因此 h(x)在[0,+∞)上单调递减,而 h(0)=1,故 h(x)≤1,所以 f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当 0
0(x>0),所以 g(x)在[0,+∞)上单调递增,而 g(0)=0,故 ex≥x+1.当 0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取 x0=,则 x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故 f(x0)>ax0+1.当 a≤0 时,取 x0=,则 x0∈(0,1), f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a 的取值范围是[1,+∞).4.(2017 山东文,20,13 分)已知函数 f(x)= x3- ax2,a∈R.(1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程;(2)设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析 (1)由题意 f '(x)=x2-ax,所以当 a=2 时, f(3)=0, f '(x)=x2-2x,所以 f '(3)=3,因此,曲线 y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程是 y=3(x-3...
