大题冲关集训(一)1.(2014 高考安徽卷)设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性;(2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2.令 f′(x)=0,得 x1=,x2=,x1
x2时,f′(x)<0;当 x10.故 f(x)在(-∞,)和(,+∞)内单调递减,在(,)内单调递增.(2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0.① 当 a≥4 时,x2≥1.由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增.所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值.② 当 00 时,f(x)单调增区间为(0, ),f(x)单调减区间为( ,+∞).(2) f(x)≤x2恒成立,即 ln x-cx≤x2恒成立,∴c≥-x,当 x∈(0,+∞)时恒成立.设 g(x)=-x,∴g′(x)=,∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.∴[g(x)]max=g(1)=-1,∴c≥-1.即 c 的取值范围为(-1,+∞).3.(2014 凉州一诊)已知函数 f(x)=(ax-2)ex在 x=1 处取得极值.(1)求 a 的值;(2)求函数 f(x)在[m,m+1]上的最小值;(3)求证:对任意 x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤e.(1)解:f′(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex.由已知得 f′(1)=0,即(2a-2)e=0,解得 a=1.当 a=1 时,在 x=1 处函数 f(x)=(x-2)ex取得极小值,所以 a=1.(2)解:由(1)知 f(x)=(x-2)ex,f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.所以函数 f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.当 m≥1 时,f(x)在[m,m+1]上单调递增,[f(x)]min=f(m)=(m-2)em.当 0
