2.1.2 椭圆的几何性质课时过关·能力提升1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,那么这个椭圆的离心率为( )A. √54 B. √32 C . √22 D . 12答案:B2.方程√( x -2)2+ y2+√( x+2)2+ y2=10,化简的结果是()A. x225 + y216=1B. x225+ y221=1C. x225 + y24 =1D . y225 + x221=1解析:由题意可知,方程表示点(x,y)与两个定点(2,0)和(-2,0)之间的距离,又两定点之间的距离为4,4<10,符合椭圆的定义,即 2a=10,2c=4,从而可求得 b2=21.答案:B3.若椭圆 2kx2+ky2=1 的一个焦点是(0,-4),则 k 的值为( )A. 132 B.8C. 18 D .32解析:先化成标准方程为 x212k+ y21k=1,又焦点是(0,-4),可知焦点在 y 轴上,所以 1k > 12k >0,又c=4,所以 1k − 12k =16 ,解得k¿ 132 .答案:A4.椭圆的对称轴为坐标轴,若它的长轴长与短轴长之和为 18,焦距为 6,则椭圆的标准方程为( )A. x29 + y216=1B. x225 + y216=1C. x225 + y216=1或 x216 + y225 =1D. x216 + y225=1答案:C★5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A. 45 B. 35 C. 25 D . 15解析:依题意有 2×2b=2a+2c,即 2b=a+c,∴4b2=a2+2ac+c2.∵b2=a2-c2,∴4a2-4c2=a2+2ac+c2,∴3a2-2ac-5c2=0,两边同除以 a2,即有 5e2+2e-3=0,解得 e¿ 35 或e=-1(舍去).故选 B.答案:B6.若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则椭圆的离心率等于 . 解析:椭圆的焦距长等于它的短轴长,即 2b=2c,则有 a2=b2+c2=2c2,解得 a¿√2c,所以e¿ ca=√22 .1答案: √227.已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为√3∶√2的两段,则其离心率e 为 . 解析:由题意,得(a+c)∶(a-c¿=√3∶√2,即 1+e1- e =√3√2 ,解得e=5-2√6.答案:5-2√68.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为 F(-2√3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 . 解析:由题意可设该椭圆的标准方程为 x2a2+ y2b2 =1¿a>b>0),由已知得{c=2√3,a=2b,a2=b2+c2,解得a2=16,b2=4,所以椭圆的标准方程为 x216 + y24 =1.答案: x216+ y24 =19.已知椭圆 x2a2+ y2b2 =1¿a>b>0)过点(1, 32),且离心率e为 12 ,求此椭圆的方程.分析:由椭圆的离心率可得 a,c 的关系,从而知道 b,c 的关系,再由点在椭圆上,代入方程即可求得椭圆的标准方程.解:由题意知,椭圆的离心率 e¿ 12 ,∴ ca=12 ,∴a=2c,∴b2=a2-c2=3c2,∴椭圆的方程为 x24c2+ y23c2=1.又点(1, 32)在椭圆上,∴ 14c2+(32)23c2 =1,∴c2=1,∴椭圆的方程为 x24 + y23 =1.★10.如果椭圆 x2k+8+ y29 =1的离心率为 12 ,求k 的值.分析:所给椭圆的焦点不确定应分两种情况讨论,利用离心率的定义解题.解:当焦点在 x 轴上,即 k>1 时,b=3,a¿√k+8,∴c¿√a2-b2=√k+8- 9=√k -1,∴e¿ ca= √k -1√k+8=12 ,解得k=4,符合 k>1 的条件.当焦点在 y 轴上,即-8
