第 15 天 导数的综合应用高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆典例在线（2017 新课标全国Ⅲ文）已知函数2ln)1(()2xaxf xax．（1）讨论( )f x 的单调性；（2）当 a﹤0 时，证明：3( )24f xa．【参考答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析．（2）由（1）可知，当0a 时， ( )f x 在12xa处取得最大值，最大值为111()ln() 1224faaa．所以3( )24f xa等价于113ln() 12244aaa，即11ln()1022aa ．设 ( )ln1g xxx ，则1( )1g xx，当(0,1)x时，( )0g x；当(1,)x 时，( )0g x，所以 ( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，故当1x 时 ( )g x取得最大值，最大值为0(1)g，所以当0x 时， ( )0g x ．从而当0a 时，11ln()1022aa ，即3( )24f xa．【解题必备】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据1要求得所求范围．一般地， ( )f xa 恒成立，只需min( )f xa即可； ( )f xa 恒成立，只需max( )f xa即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．学霸推荐1．已知点 P 为函数2122( )f xxax与2( )ln32 (0)g xaxb a图象的公共点，若以 P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为___________________．2．已知函数2( )f xxx，e(1)xg xax，其中e 为自然对数的底数．（1）讨论函数 ( )g x的单调性；（2）当0x 时，( )( )f xg x恒成立，求实数a 的最大值．1．【答案】233 e4所以 ( )h t 在13(0,e ) 上为增函数，在13(e ,) 上为减函数，2于是 ( )h t 在(0,) 上的最大值为1233()3ee2h，故b 的最大值为233 e4．2．【答案】（1）见解析；（2）e 1．【解析】（1）e( )xg xa．① 若0a ，则0( )g x， ( )g x在R 上单调递增；② 若0a ，当(,ln ]xa 时，0( )g x， ( )g x单调递减；当,()lnxa时，0( )g x， ( )g x单调递增．综上，当0a 时，函数 ( )g x在R 上单调递增；当0a 时，函数 ( )g x在(,ln ]a R 上单调递减，在(ln),a R 上单调递增．当,()1x 时，1 (e)0(1)()xxxx，即0( )h x，所以函数 ( )h x 单调递增，所以min1e 1( )( )h xh ，所以e 1a ，故实数a 的最大值为e 1．34
