课时作业 10 递推数列及数列求和的综合问题1．[2018·天津卷]设{an}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知 a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式．(2)设数列{Sn}的前 n 项和为 Tn(n∈N*)，① 求 Tn；② 证明．解析：(1)解：设等比数列{an}的公比为 q.由 a1＝1，a3＝a2＋2，可得 q2－q－2＝0.由q>0，可得 q＝2，故 an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为 d.由 a4＝b3＋b5，可得 b1＋3d＝4.由 a5＝b4＋2b6，可得 3b1＋13d＝16，从而 b1＝1，d＝1，故 bn＝n.所以，数列{an}的通项公式为 an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为 bn＝n.(2)① 解：由(1)，有 Sn＝＝2n－1，故Tn＝(2k－1)＝k－n＝－n＝2n＋1－n－2.② 证明：因为＝＝＝－，所以，.2．[2019·重庆市七校联合考试]已知等差数列{an}的公差为 d，且关于 x 的不等式 a1x2－dx－3<0 的解集为(－1,3)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若 bn＝2＋an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.解析：(1)由题意知，方程 a1x2－dx－3＝0 的两个根分别为－1 和 3.则，解得.故数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)知 an＝2n－1，所以 bn＝2＋an＝2n＋(2n－1)，所以 Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2n＋1＋n2－2.3．[2019·江西七校第一次联考]设数列{an}满足：a1＝1,3a2－a1＝1，且＝(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且 b1＝，4bn＝an－1an(n≥2)，求 Tn.解析：(1) ＝(n≥2)，∴＝＋(n≥2)．又 a1＝1,3a2－a1＝1，∴＝1，＝，∴－＝，∴是首项为 1，公差为的等差数列．∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，即 an＝.(2) 4bn＝an－1an(n≥2)，∴bn＝＝－(n≥2)，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－4．[2019·昆明市诊断测试]已知数列{an}是等比数列，公比 q<1，前 n 项和为 Sn，若 a2＝2，S3＝7.(1)求{an}的通项公式；(2)设 m∈Z，若 Sn0，所以 Sn单调递增．又 S3＝7，所以当 n≥4 时，Sn∈(7,8)．又 Sn
