专题限时集训(十三) 解析几何1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点 A(2，1)．(1)求 C 的方程；(2)点 M，N 在 C 上，且 AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂足．证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值．[解] (1)由题设得＋＝1，＝，解得 a2＝6，b2＝3.所以 C 的方程为＋＝1.(2)证明：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线 MN 与 x 轴不垂直，设直线 MN 的方程为 y＝kx＋m，代入＋＝1 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.于是 x1＋x2＝－，x1x2＝.①由 AM⊥AN 知AM·AN＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.将①代入上式可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0.整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因为 A(2，1)不在直线 MN 上，所以 2k＋m－1≠0，故 2k＋3m＋1＝0，k≠1，m＝－k－.于是 MN 的方程为 y＝k－(k≠1)．所以直线 MN 过点 P.若直线 MN 与 x 轴垂直，可得 N(x1，－y1)．由AM·AN＝0 得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.又＋＝1，可得 3x－8x1＋4＝0.解得 x1＝2(舍去)，x1＝.此时直线 MN 过点 P.令 Q 为 AP 的中点，即 Q.若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是 Rt△ADP 的斜边，故|DQ|＝|AP|＝.若 D 与 P 重合，则|DQ|＝|AP|.综上，存在点 Q，使得|DQ|为定值．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知点 A(－2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为－.记 M 的轨迹为曲线 C．(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连接QE 并延长交 C 于点 G.(ⅰ)证明：△PQG 是直角三角形；(ⅱ)求△PQG 面积的最大值．[解] (1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明：设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 y＝kx(k＞0)．由得 x＝±.记 u＝，则 P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)．于是直线 QG 的斜率为，方程为 y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设 G(xG，yG)，则－u 和 xG是方程①的解，故 xG＝，由此得 yG＝.从而直线 PG 的斜率为＝－.所以 PQ⊥PG，即△PQG 是直角三角形．(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG 的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设 t＝k＋，则由 k＞0 得 t≥2，当且仅...
