课时跟踪检测（七） 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理一、基本能力达标1．给出下列命题：① 若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d 与 c 共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；② 已知向量 a∥b，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N 是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则 A，B，M，N 四点共面；④ 已知{a，b，c}是空间的一个基底，若 m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选 D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，知BA，BM，BN共面．又BA，BM，BN过相同点 B，知 A，B，M，N 四点共面．下面证明①④正确：假设 d 与 a，b 共面，则存在实数 λ，μ，使得 d＝λa＋μb， d 与 c 共线，c≠0，∴存在实数 k，使得 d＝kc. d≠0，∴k≠0，从而 c＝a＋b，∴c 与 a，b 共面，与条件矛盾，∴d 与 a，b 不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选 D.2．如图，已知正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E 是平面 A′B′C′D′的中心，a＝AA′，b＝AB，c＝AD，AE＝x a＋y b＋z c，则( )A．x＝2，y＝1，z＝ B．x＝2，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝1 D．x＝，y＝，z＝解析：选 A AE＝AA′＋A′E＝AA′＋(A′B′＋A′D′)＝2a＋b＋c.3．空间四边形 OABC 中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点 M 在 OA 上，且OM＝2MA，N 为 BC 中点，则MN为( )A.a－b＋c B．－a＋b＋cC.a＋b－c D.a＋b－c解析：选 B MN＝MA＋AB＋BN＝OA＋OB－OA＋(OC－OB)＝－OA＋OB＋OC＝－a＋b＋c.4.如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，D 是面 BB1C1C 的中心，且AA1＝a，AB＝b，AC＝c，则A1D＝( )A.a＋b＋c B.a－b＋cC.a＋b－c D．－a＋b＋c1解析：选 D A1D＝A1C1＋C1D＝AC＋(C1C＋C1B1)＝c＋(－AA1＋CA＋AB)＝c－a＋(－c)＋b＝－a＋b＋c.5．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则AC1在BA上的投影是________．解析：AC1在BA上的投影为|AC1|cos〈AC1，BA〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝＝＝＝，又|AC1|＝.∴|AC1|cos 〈AC1·BA〉＝×＝－2.答案：－26．在三棱锥 O－ABC 中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE＝________(用 a，b，c 表示)...
