4.1 数学归纳法自我小测1．设 f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则 f(n＋1)－f(n)等于( )A． B．＋C．＋ D．＋＋2．在用数学归纳法证明 n 边形内角和为(n－2)·180°时，第一步应验证( )A．n＝1 成立 B．n＝2 成立C．n＝3 成立 D．n＝4 成立3．在数列{an}中，a1＝－1，前 n 项和 Sn＝－1，先算出数列的前 4 项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式是( )A．an＝－1 B．an＝n－1C．an＝－ D．an＝－4．用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，在验证 n＝1 时，左边计算所得的项为( )A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a35．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第 60 个数对是________．6．如图，第 n 个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第(n－2)个图形中共有________个顶点．7．设 an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在关于 n 的整式 g(n)，使得等式 a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)·(an－1)，对大于 1 的一切自然数 n 都成立？证明你的结论．8．已知数列，，，…，，…，计算数列和 S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．1参考答案1．解析：因为 f(n)＝1＋＋＋…＋，所以 f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.所以 f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案：D2．C3．解析：由题意，可知 S2＝a1＋a2＝－1，∴a2＝－1－＋1＝－；S3＝a1＋a2＋a3＝－1，∴a3＝S3－S2＝－，同理，可得 a4＝S4－S3＝－，故可猜想 an＝－.答案：D4．解析：令 n＝1，则等式左边＝1＋a＋a2.答案：C5．解析：设每个数对内的两数之和为 k，则组成数对的个数为 ak＝k－1，k＝2,3，…，则由不等式 Sk＝＝＜60，得 k(k－1)＜120，则 k 的最大值为 11，且 S11＝＝55，则第 56 个数对之和为 12，即(1,11)，后面的依次为(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，所以第 60 个数对为(5,7)．答案：(5,7)6．解析：设 an为第 n 个图形的顶点数，则由题图可知：第 1 个图形有 6 个顶点，a1＝6；第 2 个图形有 12 个顶点，a2＝12；第 3 个图形有 20 个顶点，a3＝20；第 4 个图形有 30 个顶点，a4＝30；第 5 个图形有 42 个顶点，a5＝42；……则 an＝(n＋1)(n＋2)，∴an－2＝(n－1)n＝n2－n.答案：n2－n7．答案：解：假设 g(n)存在，那么，当 n＝2 时，a1＝g(2)(a2－1)，即 1＝g...
