4．5.3 定积分的概念 1．下列命题不正确的是( )．A．若 f(x)是连续的奇函数，则 f(x)dx＝0B．若 f(x)是连续的偶函数，则 f(x)dx＝2f(x)dxC．若 f(x)在[a，b]上连续且恒正，则 f(x)dx>0D．若 f(x)在[a，b]上连续且 f(x)dx>0，则 f(x)在[a，b]上恒正答案 D2．直线 x＝1，x＝－1，y＝0 及曲线 y＝x3＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为( )．A. (x3＋sin x)dx B．2(x3＋sin x)dxC．2 (x3＋sin x)dx D.(x3＋sin x)dx答案 B3．已知[f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则 f(x)dx 等于( )．A．8 B．10 C．18 D．不确定答案 A4．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积，S＝________.答案 [f1(x)－f2(x)]dx(两图积分式相同)5．由定积分的几何意义，定积分sin xdx 表示________．答案 由直线 x＝0，x＝，y＝0 和曲线 y＝sin x 围成的曲边梯形的面积6．根据定积分的几何意义推出下列积分的值．(1) xdx； (2) cos xdx.解 若 x∈[a，b]时，f(x)≥0，则 f(x)dx 的几何意义是表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 和曲线 y＝f(x)围成的平面图形的面积；若 x∈[a，b]时，f(x)≤0，则 f(x)dx 表示所围成的图形面积的负值．1(1)如图①， xdx＝－A1＋A1＝0.(2)如图②，cos xdx＝A1－A2＋A3＝0.7．已知定积分 f(x)dx＝8，则 f(x)为奇函数，则 f(x)dx＝( )．A．0 B．16 C．12 D．8答案 A8．和式＋＋…＋，当 n→∞时的极限值用定积分式子可表示为( )．A.dx B.dx C.0dx D.dx答案 B9.x2dx＝，x2dx＝，则 x2dx＝________.答案 10．图 1，图 2 用定积分可表示为________，________.答案 f(x)dx－f(x)dx，－ f(x)dx11．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为 ρ(x)＝2x(取细棒所在直线为 x 轴，细棒的一端为原点)，棒长为 l，试用定积分表示细棒的质量 m，并求出 m 的值．解 细棒的质量 m＝ρ(x)dx＝2xdx.而 2xdx 表示由直线 y＝2x，x＝l，x＝0 及 x 轴所围成的图形面积，如图所示．∴2xdx＝×l×2l＝l2.即 m＝l2.212．(创新拓展)求定积分 x2dx 的值．解 将区间[－1,2]等分成 n 个区间，则每个区间的长度为.每个小区间的面积 ΔSi＝2.面积和 Sn＝2＝＝＝3＋－9当 n→∞时，Sn→3＋×2－9＝3.∴x2dx＝3.3
