专项限时集训(八) 函数最值、恒成立及存在性问题(对应学生用书第 127 页)(限时：60 分钟)1．(本小题满分 14 分)(镇江市 2017 届高三上学期期末)已知函数 f (x)＝xln x，g(x)＝λ(x2－1)(λ 为常数)．(1)若函数 y＝f (x)与函数 y＝g(x)在 x＝1 处有相同的切线，求实数 λ 的值；(2)若 λ＝，且 x≥1，证明：f (x)≤g(x)；(3)若对任意 x∈[1，＋∞)，不等式 f (x)≤g(x)恒成立，求实数 λ 的取值范围．[解] (1)f ′(x)＝ln x＋1，则 f ′(1)＝1 且 f (1)＝0.所以函数 y＝f (x)在 x＝1 处的切线方程为：y＝x－1，从而 g′(x)＝2λx，g′(1)＝2λ＝1，即 λ＝.2 分(2)证明：由题意知：设函数 h(x)＝xln x－(x2－1)，则 h′(x)＝ln x＋1－x，设 p(x)＝ln x＋1－x，从而 p′(x)＝－1≤0 对任意 x∈[1，＋∞)恒成立，所以 p(x)＝ln x＋1－x≤p(1)＝0，即 h′(x)≤0，因此函数 h(x)＝xln x－(x2－1)在[1，＋∞)上单调递减，即 h(x)≤h(1)＝0，所以当 x≥1 时，f (x)≤g(x)成立.6 分(3)设函数 H(x)＝xln x－λ，从而对任意 x∈[1，＋∞)，不等式 H(x)≤0＝H(1)恒成立．又 H′(x)＝ln x＋1－2λx，当 H′(x)＝ln x＋1－2λx≤0，即≤2λ 恒成立时，函数 H(x)单调递减．设 r(x)＝，则 r′(x)＝≤0，所以 r(x)max＝r(1)＝1，即 1≤2λ⇒λ≥，符合题意；当 λ≤0 时，H′(x)＝ln x＋1－2λx≥0 恒成立，此时函数 H(x)单调递增．于是，不等式 H(x)≥H(1)＝0 对任意 x∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当 0＜λ＜时，设 q(x)＝H′(x)＝ln x＋1－2λx，则 q′(x)＝－2λ＝0⇒x＝＞1，当 x∈时，q′(x)＝－2λ＞0，此时 q(x)＝H′(x)＝ln x＋1－2λx 单调递增，所以 H′(x)＝ln x＋1－2λx＞H′(1)＝1－2λ＞0，故当 x∈时，函数 H(x)单调递增．于是当 x∈时，H(x)＞0 成立，不符合题意；综上所述，实数 λ 的取值范围为 λ≥.14 分2．(本小题满分 14 分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数 f (x)＝aln x－bx3，a，b 为实数，b≠0，e 为自然对数的底数，e≈2.718 28.(1)当 a＜0，b＝－1 时，设函数 f (x)的最小值为 g(a)，求 g(a)的最大值；(2)若关于 x 的方程 f (x)＝0 在区间(1，e]上有两个不同的实数解，求的取值范围. 【导学号：56394114】[解] (1)b＝－1 时，f (x)＝aln x＋x3，则 f ′(x)＝，令 f ′(...
