竞赛讲座 24－判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论. 1． 判别式的应用 例 1 （1987 年武汉等四市联赛题）已知实数 a、b、c、R、P 满足条件 PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程 ax2+2bx+c=0 必有实根. 证明 △=（2b）2-4ac.① 若一元二次方程有实根， 必须证△≥0.由已知条件有 2b=-（Pc+Ra），代入①，得 △ =（Pc+Ra）2-4ac =（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac =（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）. （Pc-Ra）2≥0，又 PR＞1，a≠0， （1）当 ac≥0 时，有△≥0； （2）当 ac＜0 时，有△=（2b）2-4ac＞0. （1）、（2）证明了△≥0，故方程 ax2+2bx+c=0 必有实数根. 例 2 （1985 年宁波初中数学竞赛题）如图 21-1，k 是实数，O 是数轴的原点，A是 数 轴 上 的 点 ， 它 的 坐 标 是 正 数 a.P 是 数 轴 上 另 一 点 , 坐 标 是 x,x ＜ a ， 且OP2=k·PA·OA. （1） k 为何值时，x 有两个解 x1，x2（设 x1＜x2）； 此处无图 （2） 若 k＞1，把 x1，x2，0，a 按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接. 解 （1）由已知可得 x2=k·（a-x）·a，即 x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0 时有两解，这时 △ =k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0. a＞0， ∴k（k+4）＞0，故 k＜-4 或 k＞0. （2）x1＜0＜x2＜a. 例 3（1982 年湖北初中数学竞赛题）证明不可能分解为两个一次因式之积. 分析 若视原式为关于 x 的二次三项式，则可利用判别式求解. 证明 将此式看作关于 x 的二次三项式，则判别式 △ = 显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例 3 （1957 年北京中学生数学竞赛题）已知 x，y，z 是实数，且 x+y+z=a，① ② 求证：0≤x≤ 0≤y≤ 0≤z≤ 分析 将①代入②可消去一个字母，如消去 z，然后整理成关于 y 的二次方程讨论. 证明 由①得 z=a-x-y，代入②整理得 此式可看作关于 y 的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有 △ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0 ≥0≤x≤ 同理可证：0≤y≤，0≤z≤. 例 5 设 a1，a2，a3，b 是满足不等式（a1+a2+a3）2≥2（）+4b 的实数. 求证：a1a2+a2a3+a3a1≥3b. 证明 由已知可得 ≤0. 设 则 a3 是实数， 故...
