3.3.2 函数的极值与导数1.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于 ( )A.2B.3C.4D.5【解析】选 D.因为 f′(x)=3x2+2ax+3,所以 f′(-3)=0,即 3×(-3)2-6a+3=0,解得 a=5.2.函数 f(x)=x2+x+2 的极小值是 ( )A.- B.2 C. D.4【 解 析 】 选 C.f′(x)=2x+1, 令 f′(x)=0, 解 得 x=- , 当 x∈时 函 数 单 调 递 减 , 当 x∈时函数单调递增,因此 x=- 是函数的极小值点,极小值为 f= .3.已知曲线 f(x)=x3+ax2+bx+1 在点(1,f(1))处的切线斜率为 3,且 x= 是 y=f(x)的极值点 ,则 a+b= .【解析】由题意 f′(1)=3,f′=0,而 f′(x)=3x2+2ax+b,所以解得所以 a+b=-2.答案:-24.若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值等于 13,则实数 m等于 .【解析】y′=-3x2+12x,由 y′=0,得 x=0 或 x=4,容易得出当 x=4 时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得 m=-19.答案:-195.已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 .(1)求 a,b 的值.(2)判断函数 f(x)的单调区间,并求极值.【解析】(1)因为 f(x)=ax2+blnx,1所以 f′(x)=2ax+ .又函数 f(x)在 x=1 处有极值 .故即可得 a= ,b=-1.(2)由(1)可知 f(x)= x2-lnx.其定义域为(0,+∞).且 f′(x)=x- =.令 f′(x)=0,则 x=-1(舍去)或 x=1.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:x(0,1)1(1,+∞)f′(x)-0+f(x)↘极小值↗所以函数 f(x)的 单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),且函数在定义域上只有极小值 f(1)= ,而无极大值.2
