高中数学 第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空量研究距离、夹角问题课时分层作业（含解析）新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高二选择性必修第一册数学试题VIP专享VIP免费

课时分层作业(八) (建议用时：40 分钟)一、选择题1.如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( )A． B． C． D．D [以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz(图略)，设 AB＝1.则 B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，A1B＝(0,1，－2)，AD1＝(－1,0,2)，cos〈A1B，AD1〉＝＝＝－，∴异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为.]2．在空间直角坐标系中有长方体 ABCDA1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点 B 到直线 A1C 的距离为( )A． B． C． D．1B [过点 B 作 BE 垂直 A1C，垂足为 E，设点 E 的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，A1C＝(1,2，－3)，A1E＝(x，y，z－3)，BE＝(x－1，y，z)．因为，所以，解得，所以BE＝，所以点 B 到直线 A1C 的距离|BE|＝.]3．已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E 为线段 AB 上一点，且 AE＝AB，则 DC1与平面 D1EC 所成角的正弦值为( )1A． B． C．D．A [以 D 为原点，DA，DC，DD1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则 C(0,3,0)，E(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,3,1)，D(0,0,0)，DC1＝(0,3,1)，D1E＝(1,1，－1)，D1C＝(0,3，－1)，设平面 D1EC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则可得平面 D1EC 的一个法向量为 n＝(2,1,3)，所以 DC1与平面 D1EC 所成角的正弦值为sin θ＝cos〈DC1，n〉＝＝＝.]4．如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E 是棱 AB的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为( )A． B．C．D．C [以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0) E 为 AB 的中点，∴D1E＝(1,1，－1)，AC＝(－1,2,0)，AD1＝(－1,0,1)设平面 ACD1的法向量为 n＝(a，b，c)，则，即，可得2可取 n＝(2,1,2)∴点 E 到面 ACD1的距离为 d＝＝＝.]5.如图所示，已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且 PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点 F 为 PC 的中点，则二面角 CBFD 的正切值为( )A． B．C．D．D [如图所示，设 AC 与 BD 交于点 O，连接 OF.以 O 为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.设 PA＝AD...