高中数学 电子题库 第四章§2 导数在实际问题中的应用 2.2 北师大版选修 1-1函数 f(x)＝x3－3x(|x|＜1)，则 f(x)( )A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值解析：选 C.f′(x)＝3x2－3， x2＜1，∴x2－1＜0，即 f′(x)＜0 恒成立．∴f(x)在(－1，1)内为减函数．∴无最大值，也无最小值．(2012·南阳质检)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A．13 万件 B．11 万件C．9 万件 D．7 万件解析：选 C.因为 y′＝－x2＋81，所以当 x＞9 时，y′＜0；当 x∈(0，9)时，y′＞0，所以函数 y＝－x3＋81x－234 在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以 x＝9 是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在 x＝9 处取得最大值．某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．解析：V(x)＝30x2－x3，∴V′(x)＝60x－x2＝－x(x－40)． x∈(0，40)时，V′(x)＞0，x∈(40，60)时，V′(x)＜0，∴x＝40 时，V(x)有极大值也是最大值．答案：40(2012·淮北检测)函数 f(x)＝2x3－6x2＋a(a 为常数)在[－2，2]上的最大值为 5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．由 f′(x)＝0 得 x＝0 或 2. f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.∴a＝5.此函数[－2，2]上的最小值是 5－40＝－35.答案：－35[A 级 基础达标]函数 f(x)＝＋x(x∈[1，3])的值域为( )A．(－∞，1)∪(1＋∞) B．[，＋∞)C. 1D.解析：选 D.f′(x)＝＋1＝，又 x∈[1，3]，所以 f′(x)＞0 在[1，3]上恒成立，即函数在[1，3]上单调递增，所以函数的最大值是 f(3)＝，最小值是 f(1)＝，故选 D.(2012·汉中检测)已知函数 f(x)的图像过点(0，－5)，它的导数 f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得极大值－5 时，x 的值应为( )A．－1 B．0C．1 D．±1解析：选 B. f′(x)＝4x3－4x，∴f(x)＝x4－2x2＋c. f(x)过点(0，－5)，∴f(x)＝x4－2x2－5.又 f′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝±1，且－1＜x＜0 或 x＞1 时，f′(x)＞0；0＜x＜1 时，f′(x)＜0.∴x＝0 时取得极大值－5.当函数 f(x)＝x＋2cos x 在区间上取得最大值时，x＝( )A．0 B....
