第三章 统计案例能力深化提升类型一 线性回归分析【典例 1】一个车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此进行了 10 次试验,测得的数据如下表:零件数 x(个)102030405060708090100加工时间y(min)627275818595103108112127(1)画出散点图,并初步判断是否线性相关.(2)若线性相关,求回归直线方程.(3)求出相关指数.(4)作出残差图.(5)进行残差分析.【解析】(1)画散点图如图所示,由图可知,x,y 线性相关.(2)x 与 y 的关系可以用线性回归模型来拟合,不妨设回归模型为 = x+ .将数据代入相应公式可得数据表:序号零件个数 xi(个)加工时间yi(min)xiyi11062620100220721 440400330752 250900440813 2401 600550854 2502 500660955 7003 60017701037 2104 9008801088 6406 40099011210 0808 1001010012712 70010 000∑55092056 13038 500所以 =55, =92,所以 ===≈0.670, = -=92-×55=≈55.133,所以回归直线方程为 =0.670x+55.133.(3)利用所求回归方程求出下列数据.iy61.83368.53375.23381.93388.633yi- iy0.1673.467-0.233-0.933-3.633yi--30-20-17-11-7iy95.333102.033108.733115.433122.133yi- iy-0.3330.967-0.733-3.4334.867yi-311162035所以 R2=1-≈0.983.(4)因为 iy =yi- iy ,利用上表中数据作出残差图,如图所示.2(5)由散点图可以看出 x 与 y 有很强的线性相关性,由 R2的值可以看出回归效果很好.由残差图也可观察到,第 2、5、9、10 个样本点的残差比较大,需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误.【方法总结】解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图.根据已知数据画出散点图.(2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图,直观感知两个变量是否具有相关关系;在此基础上,利用最小二乘法求回归系数,然后写出回归方程.(3)回归分析.画残差图或计算 R2,进行残差分析.(4)实际应用.依据求得的回归方程解决问题.【巩固训练】从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得xi=80,y i=20,xiyi=184,=720.(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 = x+ .(2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关.(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程 = x+ 中, =, = -,其中 ,为样本平均值.3【解析】(1)由题意知 n=10, =xi==8,=yi==2,又-n=720-10×82...
