第 57 课 直线与圆的位置关系(本课对应学生用书第128-130页)自主学习 回归教材1. 直线与圆有三种位置关系:相离、相交、相切.2. 直线与圆的位置关系的判定有两种方法:代数法和几何法.(1) 代数法:联立直线与圆的方程,根据方程组的解的个数,判定它们的位置关系.将直线方程代入圆的方程,得到关于x或者y的二次方程.若Δ>0,则直线与圆相交;若Δ=0,则直线与圆相切;若Δ<0,则直线与圆相离.(2) 几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小来判断.当dr时,直线与圆相离.3. 圆的切线(1) 若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上时,则经过点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r 2 ;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,则经过点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2) 当点P(x0,y0)在圆外时,切线有两条.求圆的切线方程时,常设出切线的点斜式方程,然后运用点到直线的距离求出斜率.如果只能解出斜率的一个值,要注意斜率不存在的情形.(3) 当点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外时,直线x0x+y0y=r 2 是切点弦所在的直线方程.4. 圆的弦(直线与圆相交时)(1) 当直线与圆相交时,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为R,则直线被圆截得的弦长为222-R d.(2) 直线y=kx+b与曲线C相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=21k|x1-x2|=211k|y1-y2|.1. (必修2P128复习12改编)在平面直角坐标系xOy中,圆(x-2)2+(y+1)2=4被直线x+2y-3=0截得的弦长为 .1[答案]2 555[解析]圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,-1),半径为r=2,圆心C到直线x+2y-3=0的距离d=22|22 (-1)-3|12 =35 ,故所求弦长为222-rd=294-5 =2 555.2. (必修2P104例2改编)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是 .[答案][-3,1][解析]设圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0的距离为d,则 d≤r= 2 ,即|1|2a ≤ 2 ,解得-3≤a≤1.3. (必修2P113例2改编)若直线 3 x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m= .[答案]-3 3 或 3[解析]圆x2+y2-2x-2=0的圆心C(1,0),半径r= 3 ,直线 3 x-y+m=0与圆相切时,d=r,即| 3|3 1m= 3 ,解得m=-3 3 或m= 3 .4. (必修2P117习题5改编)若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,则实数m的取值范围是 .[答案](-∞,0)∪(10,+∞)[解析]将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1,-2),半径为1.因为直线与圆无公共点,所以圆心到直线的距离大于半径,即d=22|3 14 (-2)|34m =| -5|5m>1,解得m<0或m>10.5. (必修2P103例3改编)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是 .[答案]x+2y-5=0[解析]由题意知kPQ=-12 ,故直线PQ的方程为y=-12 (x-1)+2,即x+2y-5=0.2
