第 8 讲 函数与方程1．函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是________．解析：由已知得 f′(x)＝ex＋3>0，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，所以 f(x) 的零点个数是 1.答案：12．根据表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为________．x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345解析：据题意令 f(x)＝ex－x－2，由于 f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2－4＝7.39－4>0，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．答案：(1，2)3．用二分法求方程 x2＝2 的正实根的近似解(精确度为 0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精度要求至少需要计算的次数是________．解析：设至少需要计算 n 次，由题意知<0.001，即 2n>100，由 26＝64，27＝128 知 n＝7.答案：74．已知函数 f(x)＝则函数 f(x)的零点为________． 解析：当 x≤1 时，由 f(x)＝2x－1＝0，解得 x＝0；当 x>1 时，由 f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为 x>1，所以此时方程无解．综上函数 f(x)的零点只有 0.答案：05．函数 f(x)＝若方程 f(x)＝－x＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为________．解析：函数 f(x)＝的图象如图所示，作出直线 l：y＝a－x，向左平移直线 l，观察可得函数 y＝f(x)的图象与直线 l：y＝－x＋a 的图象有两个交点，即方程 f(x)＝－x＋a 有且只有两个不相等的实数根，即有 a＜1.答案：(－∞，1)6．若函数 f(x)＝有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是________．解析：当 x>0 时，由 f(x)＝ln x＝0，得 x＝1.因为函数 f(x)有两个不同的零点，则当x≤0 时，函数 f(x)＝2x－a 有一个零点，令 f(x)＝0 得 a＝2x，因为 0<2x≤20＝1，所以0
