高中数学 2.6《向量在中学数学中的应用》同步教学例题讲解 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学试题VIP专享VIP免费

向量在中学数学中的应用由于向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个交汇点，从而使它成为解决数学问题的重要工具．因此，在教学中除了让学生掌握“平面向量”本身的内容外，还要重视培养学生应用向量解决其它问题的意识和能力．本文举例说明向量在中学数学中的应用． 1 在平面几何中的应用 例 1 求证：平面四边形对角线的平方和等于四边的平方和． 以上两式平方后相加并整理得 ∴AC2＋DB2=AB2＋BC2＋CD2＋DA2． 例 2 求证：三角形的三条高交于一点． 证 如图，在△ABC 中，设高 AD、BE 相交于 O，于是只要证 CO⊥AB 就可以了． AO⊥BC， ∴a·(c－b)=0，即 a·c－a·b=0． 同理 b·a－b·c=0． 两式相加得 a·c－b·c=0，即(a－b)·c=0．1 c≠0，a－b≠0， ∴a－b 与 c 垂直，即 CO⊥AB． 2 在平面解析几何中的应用 例 3 已知 A(a1，a2)，B(b1，b2)，求过点 A 且垂直于 AB 的直线 l 的方程． 解 设 C(x，y)是 l 上任一点，则 ∴(b1－a 1)(x－a1)＋(b2－a2)(y－a2)=0．这就是直线 l 的方程． 例 4 设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两动点，已知 OA⊥OB，OM⊥AB，求点M 的轨迹方向，并说明它表示什么曲线． yAyB≠0，∴yAyB=－16p2． ① yA≠yB，2 ∴yA＋yB=－4py/x． ② 将①、②代入③并化简即得 x2＋y2－4px=0．因为A、B 是原点外的两点，所以 x≠0，故点 M 的轨迹是以(2p，0)为圆心，2p 为半径的圆(不含点 O(0，0))． 3 在立体几何中的应用 例 5 如图，已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°．(Ⅰ)证明 C1C⊥BD；(Ⅱ)略；(Ⅲ)当 CD/CC1的值为多少时，能使 A1C⊥平面 C1BD？请给出证明． ∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°， ∴e1·e2=e2·e3=e3·e1=cos60°=1/2． =mn(e3·e2－e3·e1)=0，3 =me2＋me1＋ne3， 显然 A1C⊥平面 C1BD 的充要条件是 CA1⊥BD 且 CA1⊥DC1． =(me2＋me1＋ne3)·(me2－me1) =0， =(me2＋me1＋ne3)·(ne3－me2) =(n－m)(n＋3m/2)． ∴当且仅当 m=n( m＞0，n＞0)，即 CD/CC1=1 时，A1C⊥平面 C1BD． 例 6 若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．4 ∴r1(r3－r2)=0． r1≠0，r3－r2≠0， ∴r1⊥(r3－r2)即 SA⊥BC．同理可证 SB⊥AC，SC⊥AB． 4 在三角中的应用 例 7 证明两角差的余弦...