3.4 生活中的优化问题举例1.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数解析式为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A.13 万件B.11 万件C.9 万件 D.7 万件【解析】选 C.因为 y′=-x2+81,所以当 x∈(9,+∞)时,y′<0;当 x∈(0,9)时,y′>0,所以函数 y=- x3+81x-234 在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以 x=9 是函数的极大值点.又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在 x=9 处取得最大值.2.在某城市的发展过程中,交通状况逐渐受到更多的关注,据有关统 计数据显示,从上午 6 时到 9 时,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用函数表示为:y=- t3-t2+36t-,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是 ( )A.6 时B.7 时C.8 时D.9 时【解析】选 C.y′=- t2- t+36=- (t+12)(t-8),令 y′=0,得 t=-12(舍去)或 t=8,当 6≤t<8 时,y′>0,当80;400,所以当 x=8-4时,l 取得最小值.此时,x=8-4≈2.343,y≈2.828.即当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时,用料最省.2
