4.1 数学归纳法A 级 基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证 n＝1 成立时，左边所得的代数式为( )A．1 B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当 n＝1 时左边所得的代数式为 1＋2＋3.答案：C2．设 f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则 f(n＋1)－f(n)等于( )A. B.＋C.＋ D.＋＋解析：因为 f(n)＝1＋＋＋…＋，所以 f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以 f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案：D3．已知 a1＝，an＋1＝，猜想 an等于( )A. B.C. D.解析：a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝＝，猜想 an＝.答案：D4．一个与自然数 n 有关的命题，当 n＝2 时命题成立，且由 n＝k 时命题成立推得当 n＝k＋2 时命题也成立，则( )A．该命题对于 n＞2 的自然数 n 都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与 k 取什么值无关D．以上答案都不对解析：由题意当 n＝2 时成立可推得 n＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立．答案：B5．记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和 f(k＋1)等于 f(k)加上( )A．2π B．πC. D.π解析：从 n＝k 到 n＝k＋1 时，内角和增加 π.答案：B二、填空题16．当 f(k)＝1－＋－＋…＋－，则 f(k＋1)＝f(k)＋________．解析：f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，所以 f(k＋1)＝f(k)＋－.答案：－7．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212.答案：2128．已知平面上有 n(n∈N*，n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有 f(n)条，则 f(3)＝________，f(4)＝________，f(5)＝________，f(n＋1)＝f(n)＋________．解析：当 n＝k 时，有 f(k)条直线．当 n＝k＋1 时，增加的第 k＋1 个点与原 k 个点共连成k 条直线，即增加 k 条直线，所以 f(k＋1)＝f(k)＋k.又 f(2)＝1，所以 f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n.答案：3 6 10 n三、解答题9．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数 n，均有 1－＋－＋…＋－＝2 成立时．(1)第一步检验的初始值 n0是什么？(2)第二步归纳假设 n＝...
