高二数学 上学期两条直线的位置关系例题（六）［例 1］求经过点(2，3)且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l1:x+3y－4=0,l2:5x+2y+6=0
选题意图：考查求交点的方法
解：解方程组，得,所以 l1与 l2的交点是(－2,2)，由两点式得所求直线的方程为,即 x－4y+10=0
说明：此题也可设所求直线方程为x+3y－4+λ(5x+2y+6)=0(λ∈Ｒ），∵点(2，3)在直线上
∴2＋3×3－4＋λ（5×2＋2×3＋6）＝0，λ＝－
∴所求直线方程为x+3y－4+(－)(5x+2y+6)=0
即 x－4y+10=0
［例 2］求证 m 为任意实数时，直线 m(m－1)x+(2m－1)y=m－5,通过某一定点
选题意图：使学生了解过定点的直线系方程
证明 1：取 m=1，直线方程为 y=－4,取 m=,直线方程为 x=9
两直线的交点为 P(9，－4)，以点 P 的坐标代入原方程左端得(m－1)x+(2m－1)y=(m－1)×9－（2m－1)×4=m－5
故不论 m 为何实数，点 P(9，－4)总在直线(m－1)x+(2m－1)y=m－5 上，即此直线通过定点 P(9，－4)
证明 2：把原方程写成(x+2y－1)m－(x+y－5)=0此式对于 m 为任意实数都成立，∴ ∴m 为任意实数时，所给直线均过定点 P(9，－4)
说明：上述两种证法各有特色，思路不同结论相同
［例 3］直线 l 被两条直线 l1：4x+y+3=0 和 l2：3x－5y－5=0 截得的线段中点为 P（－1，2），求直线 l 的方程
解：设点(a,b)在 l1上，依题意(－2－a,4－b)在直线 l2上
∴ 解之由直线的两点式知 l 的方程为 3x+y+1=0
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