【南方凤凰台】（江苏专用）2016 届高考数学大一轮复习 第三章 第 17课 导数的运算要点导学要点导学 各个击破基本初等函数的导函数 求下列函数的导数:(1) y=x12;(2) y=41x;(3) y=53x .[思维引导]利用公式求基本函数的导函数.[解答](1) y'=12x11;(2) y'=-4x-5;(3) y'=2-535 x.[精要点评]求导公式的熟练运用是关键. 求下列函数的导函数:(1) y=sin x;(2) y=lgx;(3) y=2x.[解答](1) y'=cos x;(2) y'=110xln;(3) y'=2xln 2.导数的四则运算 (2014·济宁模拟改编)求下列函数的导数:(1) f(x)=xsinx+1;(2) f(x)=ex+x.[思维引导]直接利用导数的四则运算法则即可.[解答](1) f'(x)=sinx+xcosx;(2) f'(x)=ex+1.1 求下列函数的导数:(1) y=(1-x )11x ;(2) y=lnxx ;(3) y=xex;(4) y=tan x.[解答](1) 因为y=(1-x )11x =1x -x =1-2x-12x ,所以y'=(1-2x)'-(12x )'=-3-212 x-1-212 x.(2) y'=lnxx '=2()' -( )'lnx x x lnxx=21· -x lnxxx=21-lnxx.(3) y'=(x)'ex+x(ex)'=ex+xex=ex(x+1).(4) y'=sinxcosx '=2()'-()'sinx cosx sinx cosxcos x=2-(-)cosxcosx sinx sinxcos x=21cos x .[精要点评]求一个比较复杂的函数的导数时,先进行化简是减少解题步骤的关键.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R ),其中a∈R .(1) 当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2) 当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值.[规范答题](1) 当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,f'(x)=-3x2+4x-1,f'(2)=-12+8-1=-5,所以当a=1时,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为5x+y-8=0.(6分)(2) f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,f'(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令f'(x)=0,解得x= 3a或x=a. (8分)由于a≠0,以下分两种情况讨论:①若a>0,令f'(x)>0,得 3a
a.所以f(x)在- , 3a 和(a,+∞)上2单调递减,在,3a a 上单调递增.所以函数f(x)的极大值为f(a)=0,极小值为f 3a =-427 a3; (12分)②当a<0时,令f'(x)>0,得a 3a.求得函数f(x)的极大值为f3a =-427 a3,极小值为f(a)=0. (16分)1. 已知 y=(2x2+3)(1-3x),那么y'= .[答案]-18x2+4x-9[解析]因为y=(2x2+3)(1-3x)=-6x3+2x2-9x+3,所以y'=-18x2+4x-9.2. 已知函数f(x)=ax3+3x2+2.若f'(-1)=4,则a= .[答案]103[解析]f'(x)=3ax2+6x,由f'(-1)=4,得3a-6=4,所以a=103 .3. 已知函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,那么f'(1)= .[答案]2[解析]令ex=t,则x=lnt,所以f(t)=lnt+t,所以f'(t)=1+1t ,f'(1)=2.4. 已知函数f(x)=sin x+cos x,x∈(0,2π).若f'(x0)=0,则x0= .[答案] 4或54[解析]f'(x)=cos x-sin x,因为f'(x0)=0,所以f'(x0)=cos x0-sin x0=0,则tan x0=1,因为x0∈(0,2π),所以x0= 4或54.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第33-34页).34
