高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式测评练习（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

第四讲测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.用数学归纳法证明 3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析由 n≥3,n∈N 知,应验证 n=3.答案 C2.在用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N+)的第(2)步中,假设当 n=k 时原等式成立,则在 n=k+1 时需要证明的等式为( )A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)解析用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+2n=2n2+n 时,当 n=1 时左边所得的项是 1+2=3,右边=2×12+1=3,命题成立.假设当 n=k 时命题成立,即 1+2+3+…+2k=2k2+k.则当 n=k+1 时,左边为 1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1),故从“k→k+1”需增添的项是 2k+1+2(k+1),因此 1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1).答案 D3.记等式 1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)左边的式子为 f(n),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当 n 从 k 变为 k+1 时,等式左边的改变量 f(k+1)-f(k)=( )A.k+1B.1·(k+1)+(k+1)·1C.1+2+3+…+kD.1+2+3+…+k+(k+1)解析依题意,f(k)=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则 f(k+1)=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).答案 D4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被 9 整除”,要利用归纳假设证当 n=k+1 时的情况,只需展开( )A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析当 n=k+1 时,证明“(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被 9 整除”,根据归纳假设,当 n=k 时,证明“k3+(k+1)3+(k+2)3能被 9 整除”,所以只需展开(k+3)3.1答案 A5.用数学归纳法证明 2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时,第二步归纳假设的正确写法是( )A.假设当 n=k 时命题成立B.假设当 n=k(k∈N+)时命题成立C.假设当 n=k(k≥5)时命题成立D.假设当 n=k(k>5)时命题成立解析由数学归纳法的步骤可知,选项 C 正确.答案 C6.用数学归纳法证明“Sn=+…+>1(n∈N+)”时,S1等于( )A.B.C.D.解析当 n=1 时,S1=.答案 D7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用数学归纳法证明 a4n能被 4 整除,假设 a4k能被4 整除,然后应该证明( )A.a4k+1能被 4 整除...