第三章数系的扩充与复数的引入习题课——复数运算的综合问题课后篇巩固提升1.若复数 z 满足|z-1+i|=3,则复数 z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于( )A.3B.9C.6πD.9π解析由题意得,复数 z 对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以 3 为半径的圆,其面积等于 π×32=9π.答案 D2.已知 a,b∈R,且 2+ai,b+3i 是一个实系数一元二次方程的两个根,则 a,b 的值分别是( )A.a=-3,b=2B.a=3,b=-2C.a=-3,b=-2D.a=3,b=2解析由题意得,这两个复数一定是互为共轭复数,故 a=-3,b=2.答案 A3.设 x,y∈R,i 为虚数单位,(x+i)x=4+2yi,则|x+4 y i1+i |=( )A.√10B.√5C.2D.√2解析∵(x+i)x=4+2yi,x,y∈R,∴x2+xi=4+2yi,可得 x2=4,x=2y,解得 x=2,y=1,或 x=-2,y=-1,则|x+4yi|=|2+4i|=√22+42=2√5,或|x+4yi|=|-2-4i|=√(-2)2+(-4)2=2√5.又|1+i|=√2,∴|x+4 y i1+i |=| x+4 y i||1+i|=2√5√2=√10,故选 A.答案 A4.关于 x 的方程 3x2-a2x-1=(10-x-2x2)i 有实根,则实数 a 的值等于 . 解析设方程的实数根为 x=m,则原方程可变为 3m2-a2m-1=(10-m-2m2)i,所以{3m2- a2 m-1=0,10- m-2m2=0,解得 a=11 或 a=-715.答案 11 或-7155.关于复数 z 的方程|z|+2z=13+6i 的解是 . 解析设 z=x+yi(x,y∈R),则有√ x2+ y2+2x+2yi=13+6i,于是{√x2+ y2+2 x=13,2 y=6,解得{x=4 ,y=3 或{x= 403 ,y=3.1因为 13-2x=√ x2+ y2≥0,所以 x≤132,故 x=403舍去,故 z=4+3i.答案 z=4+3i6.已知 z∈C,且|z+1|=|z-i|,则|z+i|的最小值等于 . 解析由于|z+1|=|z-i|表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i|=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为√22.答案√227.已知复数 z=3+i2-i,z1=2+mi.(1)若|z+z1|=5,求实数 m 的值;(2)若复数 az+2i 在复平面上对应的点在第二象限,求实数 a 的取值范围.解(1)z=3+i2-i =(3+i )(2+i )(2-i )(2+i ) =5+5i5=1+i.因为|z+z1|=|1+i+2+mi|=|3+(m+1)i|=√32+(m+1)2=5,所以 9+(m+1)2=25.解得 m=-5 或 m=3.(2)az+2i=a(1+i)+2i=a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以{a<0,a+2>0,解得-2
