【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 4.4 参数方程 13 平摆线与圆的渐开线学业分层测评 苏教版选修 4-4 (建议用时：45 分钟)学业达标]1．求平摆线(0≤t＜2π)与直线 y＝1 的交点的直角坐标．【解】 由题意知，y＝1－cos t＝1，∴cos t＝0，∴sin t＝1，∴t＝2kπ＋(k∈Z)，又 0≤t＜2π，∴t＝.∴x＝－1.∴交点的直角坐标为(－1,1)．2．已知圆的渐开线(φ 为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．【解】 把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基圆的面积 S＝πr2＝π×32＝9π.3．已知摆线的生成圆的直径为 80 mm，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．【解】 因为摆线的生成圆的半径 r＝40 mm，所以此摆线的参数方程为它一拱的拱宽为 2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为 2r＝2×40＝80(mm)．4．抛物线 y2－2x－6ysin θ－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0，求顶点的轨迹的普通方程．【解】 抛物线方程可化为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)，所以其顶点的参数方程为普通方程为＋＝1.5．已知椭圆(θ 为参数)，F1、F2是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不在 x 轴上的一点，求△PF1F2的重心 G 的轨迹方程．【解】 F1(－3,0)、F2(3,0)，设 P(5cos θ，4sin θ)、G(x，y)，所以 G 的轨迹方程为(θ为参数，sin θ≠0)．6．如图 449，已知半圆 x2＋y2＝1(y≥0)，定点 A(－2,0)，设 B 为圆上一动点，以 AB 为一边在上半平面内作正方形 ABCD，设 P 为正方形 ABCD 的中心，求点 P 的轨迹方程，并指出它是什么曲线．【导学号：98990040】图 449【解】 设轨迹上任意一点为 P(x，y)，又设 D(x0，y0)，∠xOB＝θ(0≤θ≤π)，则 B(cos θ，sin θ)，AB＝(cos θ＋2，sin θ)，AD＝(x0＋2，y0)．由AB⊥AD且|AB|＝|AD|，得解得因为 P 是 BD 的中点，所以(0≤θ≤π)．消去 θ，得点 P 的轨迹方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝(－≤x≤－，≤y≤)，它表示以(－1,1)为圆心，为半径的半圆的一部分．17．如图 4410 所示，开始时定点 M 在原点 O 处，取圆滚动时转过的角度 α(以弧度为单位)为参数．求半径为 2 的圆的摆线的参数方程．图 4410【解】 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如题图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)...
