习题课（三） 圆锥曲线与方程1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A．2 B.C. D.解析：选 C 由题可知 y＝x 与 y＝－x 互相垂直，可得－·＝－1，则 a＝b.由离心率的计算公式，可得 e2＝＝＝2，e＝.2．已知 F 是抛物线 y＝x2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是( )A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－C．x2＝y－ D．x2＝2y－2解析：选 A 焦点为 F(0,1)，设 P(p，q)，则 p2＝4q.设 Q(x，y)是线段 PF 的中点，则 x＝，y＝，即 p＝2x，q＝2y－1，代入 p2＝4q 得，(2x)2＝4(2y－1)，即 x2＝2y－1.3．已知直线 y＝kx＋1 与双曲线 x2－＝1 交于 A，B 两点，且|AB|＝8，则实数 k 的值为( )A．± B．±或±C．± D．±解析：选 B 由直线与双曲线交于 A，B 两点，得 k≠±2.将 y＝kx＋1 代入 x2－＝1 得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则 Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，k2＜5.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得 k＝±或±.4.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中 a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点 F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，则 a，b 的值分别为( )A.，1 B.，1C．5,3 D．5,4解析：选 A |OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得 a＝.5.如图，F1，F2是椭圆 C1：＋y2＝1 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点．其四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是( )A. B.C. D.解析：选 D 焦点 F1(－，0)，F2(，0)，在 Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，|AF1|2＋|AF2|2＝12，所以可解得|AF2|－|AF1|＝2，故 a＝，所以双曲线的离心率 e＝＝，选 D.6．若过点 A(0，h)(h＞1)的两条直线 l1和 l2与椭圆 E：＋y2＝1 都只有一个交点，且 l1⊥l2，则 h 的值为( )A. B.C．2 D.解析：选 A 由题意知 l1，l2的斜率都存在且不为 0.设 l1：y＝kx＋h，则由 l1⊥l2，知 l2：y＝－x＋h，1将 l1：y＝kx＋h 代入＋y2＝1 得＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，由 l1与椭圆 E 只有一个交点知Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，即 1＋2k2＝h2.同理，由 l2与椭圆 E 只有一个交点知，1＋＝h2，得＝k2，即 k2＝1，从而 h2＝1＋2k2＝3，即 h...
