课时作业 51 空间角的求法1．(2014·福建卷)在平面四边形 ABCD 中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿 BD 折起，使得平面 ABD⊥平面 BCD，如图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值．解 ： (1) 平 面 ABD⊥ 平 面 BCD ， 平 面 ABD∩ 平 面 BCD ＝ BD ， AB⊂ 平 面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面 BCD.又 CD⊂平面 BCD，∴AB⊥CD.(2)过点 B 在平面 BCD 内作 BE⊥BD，如图．由(1)知 AB⊥平面 BCD，BE⊂平面 BCD，BD⊂平面 BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.以 B 为坐标原点，分别以 BE―→，BD―→，BA―→的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得 B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M(0，，)，则 BC―→＝(1，1，0)，BM―→＝(0，，)，AD―→＝(0，1，－1)．设平面 MBC 的法向量 n＝(x0，y0，z0)，则即取 z0＝1，得平面 MBC 的一个法向量 n＝(1，－1，1)．设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ，则 sinθ＝|cosn，AD―→| ＝＝，即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为.2．(2015·广东卷)如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点 E 是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且 AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角 P－AD－C 的正切值；(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值．解：(1)证明： PD＝PC，E 为 DC 的中点，∴PE⊥DC.又 平面 PCD⊥平面 ABCD，且平面 PCD∩平面 ABCD＝CD，∴PE⊥平面 ABCD.又 FG⊂平面 ABCD，∴PE⊥FG.(2)取 AB 中点 H，连接 EH，由(1)知 PE⊥DC，PE⊥EH，由于四边形 ABCD 为矩形，所以 HE⊥DC，故以 EH、EC、EP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．故 由 PD ＝ 4 ， AB ＝ CD ＝ 6 得 EP ＝ ， 即 P(0 ， 0 ， ) ， D(0 ， － 3 ， 0) ， A(3 ， －3，0)，PD―→＝(0，－3，－)，PA―→＝(3，－3，－)．设平面 PAD 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，则即解得令 z＝3，则 m＝(0，－，3)．而平面 ABCD 的一个法向量 n＝(0，0，1)，设二面角 P－AD－C 的平面角为 θ，由图知 θ 为锐角，所以 cosθ＝＝，∴tanθ＝.(3)由(2)知 PA―→＝(3，－3，－)，G(2，3，0)，F(3，1，0)，所以 ...
