高二文科数学竞赛试题答案一、选择题：1-5、DDABA； 6-10、BCCCA.二、填空题：11、2 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、③④.三、解答题：16、略.17、(1)；(2) .18、arccos.19、解：以边 AB 的中点 O 为原点，AB 边所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B（02， ），（2 分 ）因为|| |' |'BTB TB T AD，，根据抛物线的定义，T 点的轨迹是以点 B 为焦点、AD 为准线的抛物线的一部分（6 分）设T xy(),，||AB 4 ，即定点 B 到定直线 AD 的距离为4，抛物线方程为 xy28. （9 分） 在折叠中，线段 AB' 长度|'|AB 在区间[]04，内变化，而 xAB' ， 04x，故 T 点的轨迹方程为 xyx2804 () （12 分 ）另解：以 BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A（0，4），B（0，0）设T 点坐标为 ()xy，，||()BEtt 24 ，则|'|||B EtAEt，4， 从而 B' 的坐标为()2 244t ，，直线 B T'的方程为 xt2 24 ， ①又 EF 是 BB' 的垂直平分线，直线 BB' 斜率 ktBB' 224，线段 BB' 的中点为 ()242t ，（6 分）于是直线 EF 的方程ytxt224224() ， ② 联 立 ① 、 ② 消 去 t 得 ： xy282() ， （ 9 分 ） 244 tx，，故 T 点的轨迹方程为 xyx282 04()() （12 分）.20、(1)12；(2) .21、解：（1）设，.整理得 AB：bx-ay-ab=0 与原点距离，又，联立上式解得 b=1，∴c=2，.∴双曲线方程为.（2）设 C（x1，y1），D（x2，y2）设 CD 中点 M（x0，y0），∴，∴|AC|=|AD|，∴AMCD.⊥联立直线 与双曲线的方程得，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且.∴，，∴.∴，∴AMCD⊥.∴，整理得，则且 k2>0，，代入中得.∴.
