第 19 讲 定积分与微积分基本定理夯实基础 【p41】【学习目标】1．了解定积分的实际背景、基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．【基础检测】1.(2x－3x2)dx＝0，则 k＝( )A．1 B．0C．0 或 1 D．以上都不对【解析】由题设可得 k2－k3＝0⇒k2(k－1)＝0，则 k＝0 或 k＝1.【答案】C2．直线 y＝4x 与曲线 y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A．2B．4C．2 D．4【解析】如图，y＝4x 与 y＝x3的交点为 A(2，8)，图中阴影部分的面积即为所求图形的面积．S 阴＝(4x－x3)dx＝|＝8－×24＝4.【答案】D3．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以速度 v(t)＝7－3t＋(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止．刹车后汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A．1＋25ln 5 B．8＋25lnC．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2【解析】令 v(t)＝0 得 t＝4 或 t＝－(舍去)，∴汽车行驶距离 s＝dt＝|＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.【答案】C4. dx＝________．【解析】根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线 y＝和 x 轴所围成的图形的面积，显然是半个单位圆，其面积是，故 dx＝.【答案】5．设函数 f(x)是 R 上的奇函数，f(x＋π)＝－f(x)，当 0≤x≤时，f(x)＝cos x－1，则－2π≤x≤2π 时，f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积为( )A．4π－8 B．2π－4C．π－2 D．3π－6【解析】由题设 f(x＋π)＝－f(x)⇒f(x＋2π)＝f(x)，则函数 y＝f(x)是周期为 2π的奇函数，画出函数 y＝f(x)，x∈[0，2π]的图象，结合函数的图象可知：只要求出该函数 y＝f(x)，x∈的图象与 x 轴所围成的面积即可．容易算得函数 y＝f(x)，x∈的图象与 x轴所围成的面积是 S＝0－∫0(cos x－1)dx＝－＝－1，故借助函数图象的对称性求得函数 y＝f(x)，x∈[－2π，2π]的图象与 x 轴所围成的面积是 8S＝4π－8.【答案】A【知识要点】1．定积分的定义及相关概念设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b 把区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)．当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 f(x)dx，即 f(x)dx＝f(ξi)．这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫...
