竞赛讲座 15 -函数方程一、相关知识函数方程的解是 函数方程 的解是 二、函数方程的题型许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。1、确定函数的形式 尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程无解）。2、确定函数的性质3、确定函数值三、求函数的解析式1、换元法例题 1、设函数满足条件，求。例题 2、设函数定义于实数集，且满足条件，求。 ：函数在处没有定义，但对所有非零实数 有：，求。答案：：求满足条件的。2、赋值法例题 1、设函数定义于实数集上，且，若对于任意实数、 ，都有：，求。例题 2、设函数定义于自然数集上，且，若对于任意自然数 、 ，都有：，求。四、究函数的性质例题、设函数定义于上，且函数不恒为零，，若对于任意实数 、 ，恒有：。① 求证：② 求证：③ 求证：：若对常数和任意 ，等式都成立，求证：函数是周期函数。：设函数定义于实数集上，函数不恒为零，且对于任意实数、，都有：，求证：。
