1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质A 级：基础巩固练一、选择题1．在(x＋y)n的展开式中，第 4 项与第 8 项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )A．第 6 项 B．第 5 项C．第 5,6 项 D．第 6,7 项答案 A解析 由题意，得第 4 项与第 8 项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得 n＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第 6 项，它也是系数最大的项．2．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为 1024，则 n 的值为( )A．8 B．9 C．10 D．11答案 B解析 由题意知(1＋1)n(3－1)＝1024，即 2n＋1＝1024，所以 n＝9.故选 B.3．在 10的展开式中，系数最大的项为( )A．第 5 项 B．第 6 项C．第 5 项和第 6 项 D．第 5 项和第 7 项答案 D解析 由二项式定理知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为 T6，且 T6＝Cx55＝－C，二项式系数等于项的系数的相反数，此时 T6的系数最小．而 T5＝Cx64＝Cx2，T7＝Cx46＝Cx－2，且 C＝C，∴系数最大的项为第 5 项和第 7 项．4．若多项式 x＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则 a0＋a2＋…＋a8＝( )A．509 B．510 C．511 D．1022答案 B解析 令 x＝0 得 0＝a0＋a1＋…＋a9＋a10.①令 x＝－2 得－2＋(－2)10＝a0－a1＋a2－…－a9＋a10.②①＋②得210－2＝2a0＋2a2＋…＋2a10，∴a0＋a2＋…＋a10＝29－1.又由 x10的系数为 1 知，a10＝1，∴a0＋a2＋…＋a8＝29－1－1＝510.5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于 364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项答案 B解析 设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是 a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令 x＝1，x＝－1，得两式相减，得 a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝.由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即 n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有 7 项，中间一项的二项式系数最大，即第 4 项的二项式系数最大，选 B.1二、填空题6．设 m 为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a＝7b，则 m＝________.答案 6解析 根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，C＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项...
