课时作业 61 最值与范围问题一、选择题1．设双曲线－＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交双曲线的左支于 A，B 两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为( )A．6B．9C．11D．15解析：由题意，得⇒|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，显然，|AB|min＝2·＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.答案：C2．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1与直线 l2的距离之和的最小值是( )A．2B．3C.D.解析：直线 l2：x＝－1 为抛物线 y2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到 l2的距离等于 P到抛物线的焦点 F(1，0)的距离，故本题转化为在抛物线 y2＝4x 上找一个点 P，使得 P 到点F(1，0)与直线 l1的距离之和最小，最小值为点 F(1，0)到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离，即 d＝＝2.答案：A3．已知 P 是椭圆＋＝1 上的动点(除顶点外)，F1，F2为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点．若M 是∠F1PF2的角平分线上一点，且 F1M―→·MP―→＝0，则|OM―→|的取值范围是( )A．(0，3)B．(0，2)C．(2，3)D．(0，4)解析：延长 PF2，交 F1M 的延长线于点 N，由题意可知，|OM―→|＝|F2N|＝(|PF1|－|PF2|)＝|PF1|－4.又|PF1|∈(4－2，4＋2)，∴|OM―→|∈(0，2)．答案：B4．若点 O 和点 F 分别为椭圆＋＝1 的中心和左焦点，且 P 为椭圆上任意一点，则OP―→·FP―→的最大值为( )A．2B．3C．6D．8解析：由题意，F(－1，0)，设点 P(x0，y0)，则有＋＝1，得 y＝3.因为 FP―→＝(x0＋1 ，y0) ，OP―→＝(x0，y0)，所以 OP―→·FP―→＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.因为－2≤x0≤2，所以当 x0＝2 时，OP―→·FP―→取得最大值 6.答案：C5．若过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，O 是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )A．2B.C．4D．21解析：设直线 AB 的倾斜角为 θ，不妨设 A 点在 x 轴的上方，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.答案：C6．抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，P(x，y)为该抛物线上的动点，且点 A(－1，0)，则的最小值是( )A.B.C.D.解析：依题意知 x≥0，焦点 F(1，0)，则|PF|＝x＋1，|PA|＝＝.当 x＝0 时，＝1；当 x>0 时，1<＝≤＝(当且仅当 x＝1 时取等号)．因此当 x≥0 时，1≤≤，所以≤≤1，故的最小值是.答案：B二、填空题7．已知动点 P(x，y)在椭圆 C：＋＝1...
