考点规范练 40 空间向量及其运算基础巩固组1.在下列命题中:① 若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行;② 若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面;③ 若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面;④ 已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z,使得 p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3答案 A解析 a 与 b 共线,a,b 所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b 都共面,故②错误;三个向量 a,b,c 中的任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当 a,b,c 不共面时,空间任意一向量 p 才能表示为 p=xa+yb+zc,故④不正确.综上可知四个命题中正确的个数为 0,故选 A.2.(2017 浙江台州统考)已知向量 a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且 a∥b,则实数 m 的值等于( )A. 32B.-2C.0D. 32或-2答案 B解析 a∥b,∴ 2m+12= 3m =m- 1- m,解得 m=-2.3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别为棱 AA1和 BB1的中点,则 sin<⃗CM ,⃗D1N>的值为( )A. 19B. 4√59C. 2√59D. 23答案 B解析如图,设正方体棱长为 2,则易得⃗CM=(2,-2,1),⃗D 1N=(2,2,-1),∴cos<⃗CM ,⃗D1N>= ⃗CM ·⃗D1 N|⃗CM ||⃗D1N | =-19,∴sin<⃗CM ,⃗D1N>=√1-(- 19)2=4 √59.14.已知在空间直角坐标系 O-xyz 中,A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17),则这四个点( )A.共线B.共面C.不共面D.不能确定答案 B解析易知⃗AB=(3,4,5),⃗AC=(1,2,2),⃗AD=(9,14,16),设⃗AD=x⃗AB+y⃗AC,则(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),即{9=3 x+ y,14=4 x+2 y ,16=5 x+2 y ,解得{x=2,y=3,即⃗AD=2⃗AB+3⃗AC,从而 A,B,C,D 四点共面.5.在四面体 O-ABC 中,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点,若⃗OG=13⃗OA+ x4⃗OB+ x4 ⃗OC,则使点G 与点 M,N 共线的 x 的值为( )A.1B.2C. 23D. 43答案 A解析⃗ON=12 ¿),⃗OM=23⃗OA .假设点 G 与点 M,N 共线,则存在实数 λ 使得⃗OG=λ⃗ON+(1-λ)⃗OM=λ2 ¿)+2( 1- λ)3⃗OA,与⃗OG=13⃗OA+ x4⃗OB+ x4 ⃗OC比较可得2( 1- λ)3=13 , λ2= x4,解得 x=1.故选 A.6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,O 为 AC 的中点.化简⃗A1O−12⃗AB−12⃗AD= . 答案⃗A1 A解析⃗A1O−12⃗AB−12⃗AD=⃗A1O−12 ¿)=⃗A1O−⃗AO=⃗A1O+⃗OA=⃗A1 A....
