第 25 课 二倍角的正弦、余弦与正切(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修4P119例1改编)已知cos α=513 ，α∈π0 2，，那么sin 2α= .【答案】120169【解析】由题意得sin α=1213 ，所以sin 2α=2sin αcos α=2×513 ×1213 =120169 .2.(必修4P120练习2改编)已知sin α=35 ，那么cos 2α= .【答案】725【解析】cos 2α=1-2sin2α=725 .3.(必修4P123习题5改编)已知α为第二象限角，且sin α+cos α=33 ，则cos 2α= .【答案】-53【解析】因为sin α+cos α=33 ，则(sin α+cos α)2=13 ，所以2sin αcos α=-23 ，即sin 2α=-23 .1因为α为第二象限角，且sin α+cos α=33 >0，所以2kπ+π2 <α<2kπ+3π4 (k∈Z).所以4kπ+π<2α<4kπ+3π2 (k∈Z)，所以2α为第三象限角，所以cos 2α=-21-sin 2 =-53 .4.(必修4P123习题3改编)若sinπ2 =35 ，则cos 2θ= .【答案】-725【解析】因为sinπ2 =35 ，所以cos θ=35 ，所以cos 2θ=2cos2θ-1=-725 .5.(必修4P122练习5改编)化简：11tan-11-tan = .【答案】-tan 2θ【解析】11tan-11-tan =cossincos-coscos -sin =22-2sin coscos-sin =-tan 2θ.1.二倍角公式(1)二倍角的正弦：sin 2α=2sin α cos α .(2)二倍角的余弦：cos 2α=cos 2 α- sin 2 α .(3)二倍角的正切：tan 2α=22tan1-tan .2注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠k π + π2 ，且α≠π2k+π4 (k∈Z).②“倍角”的意义是相对的，如4α是2 α 的二倍角，α是 2的二倍角.2.二倍角的余弦公式的几个变形公式(1)升幂公式：1+cos 2α=2cos 2 α ；1-cos 2α=2sin 2 α .(2)降幂公式：cos2α=1 cos22；sin2α=1-cos22.【要点导学】要点导学 各个击破 二倍角的三角函数公式的简单应用例1 已知sin α=1213 ，且α∈ππ2，，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【思维引导】直接使用二倍角公式即可.【解答】因为α∈ππ2，，sin α=1213 ，所以cos α=-513 .所以sin 2α=2sin αcos α=-120169 ，cos 2α=cos2α-sin2α=-119169 ，tan 2α=sin2cos2 =120119 .【精要点评】求cos α的值时，要注意正负的判断.3变式 (1)已知sin 2=33 ，那么cosα= .(...
