1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课时过关·能力提升基础巩固1 已知(a+b)n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于( )A.11B.10C.9D.8解析: 只有第 5 项的二项式系数最大,∴ n2 +1=5.∴n=8.答案:D2(a+b)n二项展开式中与第(r-1)项系数相等的项是( )A.第(n-r)项B.第(n-r+1)项C.第(n-r+2)项D.第(n-r+3)项解析:因为第(r-1)项的系数为Cnr -2=Cnn-r+2,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.答案:D3若(x+ 1x)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.120解析:由 2n=64,得 n=6,则 Tk+1¿C6k x 6−k(1x)k=C6k x 6−2k ¿k≤6,k∈N).由 6-2k=0,得 k=3,则 T4¿C63=20.答案:B4 若(x+3y)n的展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则 n 的值为( )A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b)10展开式的二项式系数之和为 210,令 x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得 n=5.答案:A5若(3 x - 13√x2)n的二项式系数之和为128,则展开式中含 1x3 的项是()A. 7x3 B.-7x3 C. 21x3 D .- 21x3解析:由(3 x - 13√x2)n的二项式系数之和为128 可得 2n=128,n=7.其通项 Tk+1¿C7k(3 x)7−k(- 13√ x2)k=(−1)k C7k·37-k x7- 5k3 ,令7−5k3=−3,解得k=6,此时 T7¿ 21x3 .答案:C6 已知Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=729 ,则Cn1+Cn3+Cn5的值等于()A.64B.32C.63D.311解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得 n=6.则Cn1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=32.答案:B7 如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第 n 行的首尾两个数均为 . 解析:由于每行第 1 个数 1,3,5,7,9…成等差数列,由等差数列的知识可知,an=2n-1.答案:2n-18 设(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则 a0+a1+a2+a3+…+a10= . 解析:令 x=2,则(2×2-3)10=a0+a1+a2+…+a10,所以 a0+a1+…+a10=1.答案:19 如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列{an},则数列的第 10 项为 . 解析:由题图可知 a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,…,从第三项开始每一项为前两项之和,a10=a9+a8=2a8+a7=3a7+2a6=5a6+3a5=8a5+5a4=13a4+8a3=21a3+13a2=42+13=55.答案:5510 设(2−√3 x¿100=a0+a1 x+a2x 2+…+a100 x 100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;(3)a1+a3+a5+…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.解:(1)令 x=0,则展开式为 a0=2100.(2)令 x=1,可得 a0+a1+a2+…+a100=(2−√3¿100...
