2.3.2 抛物线的几何性质课时过关·能力提升1.已知抛物线的焦点坐标是(2,0),则抛物线的标准方程为( )A.x2=8yB.x2=-8yC.y2=8xD.y2=-8x答案:C2.抛物线 y2=-4mx(m>0)的焦点为 F,准线为 l,则 m 表示( )A.F 到 l 的距离B.F 到 y 轴的距离C.F 点的横坐标D.F 到 l 的距离的 14答案:B3.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,若|PF|=4,则点 P 坐标为( )A.(3,2√3¿B.(3,-2√3¿C.(3,2√3¿或¿3,-2√3¿D.(-3,±2√3¿答案:C4.抛物线 y2=2px 与直线 ax+y-4=0 的一个交点坐标为(1,2),则抛物线的焦点到该直线的距离是( )A. 3√32B. 2√55C. 7 √510 D . √172解析:点(1,2)在抛物线 y2=2px 和直线 ax+y-4=0 上,所以 p=2,a=2,抛物线的焦点为(1,0).焦点到直线 2x+y-4=0 的距离为|2×1- 4|√22+1= 2√5=2√55.答案:B★5.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( )A. 12 B.1C.2D .41解析:抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=−p2 ,圆(x-3)2+y2=16 的圆心为(3,0),半径为 4.故有3+ p2=4,所以p=2.答案:C6.抛物线 ax2=y 的焦点坐标是 . 答案:(0, 14 a)7.一动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点 . 解析:直线 x+2=0 即 x=-2 是抛物线 y2=8x 的准线,由题意知动圆的半径等于圆心到抛物线 y2=8x的准线的距离,即动圆的半径等于圆心到抛物线 y2=8x 的焦点的距离.故动圆必过抛物线的焦点(2,0).答案:(2,0)★8.下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m. 解析:建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y.当 y=-3 时,x=±√6,所以水面宽2√6m.答案:2√6★9.定长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 在抛物线 y2=x 上移动,求 AB 的中点 M 到 y 轴的距离的最小值,并求出此时 AB 的中点 M 的坐标.分析:2如图,线段 AB 的中点 M 到 y 轴距离的最小值,就是横坐标的最小值,这是中点坐标的问题,因此只要研究 A,B 两点的横坐标之和最小即可.解:F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 两点到准线的垂线分别是 AC,BD,过 AB 的中点 M 作准线的垂线MN,N 为垂足,则|MN|=12(|AC|+|BD|),由抛物线的定义可知|AF|=|AC|,|BD|=|BF|,∴|MN|=12(|AF|+|BF|)≥12|AB|=32.设点 M 为(x,y),则|MN|=x+14,则 x≥32−14=54.当弦 AB 过点 F 时,等号成立,此时点 M 到y 轴的最小距离为54 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2x,当 x=54 时,y1·y2=-p2=-14 .∴(y1+y2)2=y12+ y22+2y1y2=2x-12=2.∴y1+y2=±√2,即 y=±√22.∴M 的坐标为(54 , √22 )或(54 ,- √22 ).34
