课时作业 53 椭圆1．已知三点 P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以 F1，F2为焦点且经过点 P 的椭圆的短轴长为( B )A．3 B．6C．9 D．12解析：因为点 P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝5，所以 2a＝6，即 a＝3，c＝6，则 b＝3，故椭圆的短轴长为 6，故选 B
2．设 F1，F2为椭圆＋＝1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1的中点在 y 轴上，则的值为( B )A
D．解析：由题意知 a＝3，b＝，c＝2
设线段 PF1的中点为 M，则有 OM∥PF2， OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝
又 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴＝×＝，故选 B
3．已知点 P 是椭圆＋＝1 上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF1F2的内心，若 S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2成立，则 λ 的值为( D )A
D．2解析：设内切圆的半径为 r，因为 S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2，所以 S△MPF1＋S△MPF2＝λS△MF1F2；由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以 ar＝λcr，c＝，所以 λ＝＝2
4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为 M，上顶点为 N，右焦点为 F，若NM·NF＝0，则椭圆的离心率为( D )A
D．解析：由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，∴NM＝(－a，－b)，NF＝(c，－b)． NM·NF＝0，∴－ac＋b2＝0，即 b2＝ac
又知 b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac
∴e2＋e－1＝0，解得 e＝或 e＝(舍)．∴椭圆的离心率为，故选
