与三角形“四心”相关的向量结论濮阳市华龙区高中张杰随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。问题 ：设点 O 在ABC 内部，且有03OCOBOA，则BOC 与AOC 的面积的比值是____. 分析 ： 03OCOBOA设ODOB3，则0OCODOA，则点 O 为ADC 的重心 .∴ACDAODCOADOCSSSS31. 而AOCCODBOCSSS3131，∴31:COABOCSS. 探究： 实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。结论： 设 O点在ABC 内部，若RrnmOCrOBnOAm,,0，则rnmSSSAOBCOABOC::::证明：已知 O 点在ABC 内部，且RrnmOCrOBnOAm,,0设：OFOCrOEOBnODOAm,,，则点 O 为△DEF 的重心，又EOFBOCSnrS1，DOFAOCSmrS1，DOEAOBSmnS1，∴rnmSSSAOBCOABOC::::说明 : 此结论说明当点O在ABC内部时，点 O 把ABC 所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。应用举例： 设点 O 在ABC 内部，且 40OAOBOCuuuruuuruuurr，则ABC的面积与OBC 的面积之比是：A ．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2 分析： 由上述结论易得：1:1:4::AOBCOABOCSSS，所以2:34:6:OBCABCSS，故选 D 当把这些点特定为三角形的“四心” 时，我们就能得到有关三角形“四心” 的一组统一的向量形式。引申 ：设 O点在ABC 内部，且角CBA,,所对应的边分别为cba,,结论 1：若 O为ABC 重心，则0OCOBOA分析 ：重心在三角形的内部，且重心把ABC 的面积三等分 . 结论 2 ： O为ABC 内心，则0OCcOBbOAa分析 ：内心在三角形的内部，且易证S△ BOC： S△COA ：S△AOB =cba::结论 3： O为ABC 的外心，则02sin2sin2sinOCCOBBOAA分析：易证 S△BOC ：S△ COA：S△ AOB=sin2A ：sin2B： sin2C. 22BCtBCABsBCAOABBCtABsABAO由结论 3及结论： O为ABC的外心， H 为ABC 的垂心，则OCOBOAOH可得结论 4。结论 4：若 H 为ABC垂心，则HAACB2sin2sin2sinHBBCA2sin2sin2sin02sin2sin2sinHCCBA即0coscossincoscossincoscossinHCBACHBCABHACBA证明： 对任意ABC 有OCOBOAOH，其中 O 为外心， H 为垂心，∴O...
