第 1 页 共 26 页专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆 ( 阿波罗尼斯圆 ) 为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下：阿氏圆定理 ( 全称：阿波罗尼斯圆定理 ) ，具体的描述： 一动点 P到两定点 A、B的距离之比等于定比nm( ≠1) ，则 P点的轨迹，是以定比nm内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造 母子三角形相似例题 1、问题提出： 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ ACB＝90° ， CB＝4，CA＝6，⊙C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结AP、BP，求 AP+BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接 CP，在 CB上取点 D，使 CD＝1，则有＝＝，又 ∠ PCD ＝∠ BCP，∴△ PCD∽△ BCP．∴＝，∴ PD＝BP，∴ AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP 的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP 的最小值为．（3）拓展延伸： 已知扇形 COD 中，∠COD ＝ 90° ，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点 P 是上一点，求2PA+PB 的最小值．【分析】 （ 1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD＝；第 2 页 共 26 页（2）连接 CP，在 CA 上取点 D，使 CD ＝，则有，可证△ PCD ∽△ ACP，得到 PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP 的最小值为BD；（3）延长 OA 到点 E，使 CE＝6，连接 PE、OP，可证△ OAP ∽△ OPE，得到 EP＝2PA，得到 2PA+PB＝EP+PB，当 E、P、B 三点共线时，得到最小值．【解答】 解：（ 1）如图 1，连结 AD， AP+BP＝AP+PD，要使 AP+BP 最小，∴AP+AD 最小，当点A，P，D 在同一条直线时，AP+AD 最小，即： AP+BP 最小值为 AD，在 Rt△ACD 中， CD ＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故答案为：；（2）如图 2，连接 CP，在 CA 上取点 D，使 CD ＝，∴，第 3 页 共 26 页 ∠ PCD＝∠ ACP，∴△ PCD∽△ ACP，∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（ 1）的方法得出AP+BP 的最小值为BD＝＝．故答案为：...
